群論

「Collatz(Group theory)」

ブルバギは数学的考察を向ける対象に備わるべき構造として、３種類の構造に注目した

・位相構造

・線型構造

・代数構造

代数構造で学ぶのが、群論である

群論では演算について学ぶ

結局は集合にある構造が備わって群と読んでいるのであるが、その構造が今回は演算によって定まっている

数学の世界では数多くの操作が用いられるが、群論はそのような操作をわかりやすく分解する技を与えてくれる

定義（群の公理）

1 とある演算で閉じている

2 操作の順序を入れ替えられる

3 単位元が存在する

4 逆元が存在する



1 群論の基礎

1.1 群の定義



演算をどのように捉えるかというのはかなり基本的な問題であり、これからの議論にも大きく響く

演算を規則ではなく写像として考える

a:告白する

b:キスする

c:ハグする

というように考えてみると、物事の順序はとても重要であることがわかる

数学の世界では何か特徴的なもの（最大値、上限、導関数）を定義すると、それは一意かどうかを非常に気にする

一意性を示すときは、a,bを仮定して定義を用いて同じことを示すのが良さそう　　

補題1.1.1

単位元は一意に定まる

また逆元も一意に定まる



補題1.1.2

aが群に含まれるとすると、(a^-1)-1 = aである

交換法則を一般の群の定義に組み込まないのは、この性質を満たす演算は数学において特殊だからである

引き算や割り算、行列の積は交換法則を満たさない

つまり交換法則が成り立つような演算はある意味特殊な条件を満たしているような群である

そのような群をAbel群という



先の話になるが、Abel群には普通の群には見出せない面白い性質がある

定義1.4 部分集合に関する演算



今までは濃度という言葉を用いてきたが、代数学では群の位数という

1.2 部分群

集合にとある構造がもたらされた時、その部分集合で構造が引き継がれるようなものは何か、ということは数学における自然なストーリーの流れである

ここで、群のどのような部分集合が群の構造をうまく引き継いでいるのだろうかと考えてみると、結合法則が成り立つのは群の部分集合として自明なので、組み込まない

よって残りの3つの公理を満たすものを部分群という



定理1.2.1

Hが(G,*)の部分群であるための必要十分条件は、

xy-1 が Hに含まれることである

部分群に関しては今までの数学のストーリーとは違う展開がある

群論においては有限性が重要視される場面がある

定理1.2.2

Gの空でない有限部分集合Hが部分群になっているための必要十分条件は abがHに含まれること

定義1.7 巡回群

巡回群であるとき、ある1つの元を繰り返し演算を行うことで全ての元を表現できる

補題1.2.1

群において、任意のgに関してg^nは巡回部分群になっている

ここでいかなる群においても部分群が存在することになる

この部分群の特徴はもちろんその生成元に集約されているのでこの巡回群の位数は元の個数と思っても良いが、<g>の群の位数として定義しても良いことが分かる

補題1.2.2

定理1.2.4

Gを群とし、SをGの部分集合とする

このとき、Gに含まれる部分群で、Sを含む最小の群が存在する



1.3 剰余類

ここから先は群の構造をより見やすくする努力をしてみる

modのように、いくつかの仲間に分けることでその性質を見るのは有限個だけ見ておけば良くなるような仲間分けは行えないかを考えていく





補題1.3.2

補題1.3.3

Gを群とし、HをGの部分群とする。

HとHの任意の剰余類の間には全単射が存在する

つまり、Gの位数と剰余類の位数は等しい

定理1.3.1

GとS×H（直積集合）の濃度は等しい

つまり全単射写像が構成できる

系1

系2 Lagrangeの定理

Gを有限群とする。

Gの任意の部分群の位数はGの位数の約数である

剰余類は非常に重要な役割を果たしている

Hに関する剰余類はHの位数に関する情報を持っているとも考えられる

そこで、H自身を調べるのではなく、その剰余類の性質を調べることには大きな意味がある

定義1.11 群の指数

Gを群とし、Hを部分群とする

Hに関する剰余類の濃度をHの指数という

株価指数などで利用される意味合いでの指数

つまりHの性質を指し示すような数

1.4 正規部分群

剰余類についてもう少し考える

剰余類は簡単に分かるが、剰余類は群になることもあればならないこともある

ここで、群になるためにはどのような構造が必要かと言うことが問題になる

剰余類の構造をもたらすのはどの部分群でわるかということだけなので剰余類の性質は部分群に強く依存する

2 準同型写像

ある１つの構造を導入し、（ここでは演算構造）その構造や性質を定義し、調べてきた

次に数学では何をやるかというと、その構造を壊さないような写像とは何かということである

線形空間には線型写像

位相空間(距離空間)には同相写像というものがあった

群論でこのような写像に対応する写像はなんだろうか？

演算構造を壊さないような写像とは準同型写像のことである

2.1 準同型写像の定義



群同士の関係を導入したので、その２つの関係が同値関係かどうかが気になる

恒等写像は同型写像になっている

fが同型写像なら、f-1も同型写像になる

また、準同型写像の合成写像も準同型写像となる

２つの郡の間に定義される関係：同型は同値関係になっている

元を１つだけ含む郡の間には同型写像が存在する

このことより元を１つしか含まない郡の間にはそれが郡であるという条件だけから全て同型であることが示される

そこで、この１つしか元を含まない群に自明な軍という名前をつけておく

ここで、面白い定理を証明するためにいくつか準備をする



fを準同型写像とすると、Ker(f)はG内の正規部分群である

核を調べるということから、f自身の性質を導けることがある

補題：fが単射であることの必要十分条件はKer(f) = {1G}が成り立つことである

つまり核を調べるだけでその準同型写像が単射かどうか判定できる

（これは線形代数でも似たようなものがあるのでは）

核とは押しつぶした元であり、核の元が多いというのは、押しつぶした元の数が多いということになり、乱暴な写像であることが導かれる



写像の像であるから、f(G)を書いても良い

だが、準同型写像というだけで強い制約を受けるので、像でもそのようなことが起こる

よってIm(f)という書き方をする

Im(f)もG’内の部分群である

2.2 準同型定理

準同型定理は群論を学ぶ一番最初の山場である



代表系が選べるかどうかは数学そのものの構造に関わる問題である

それが可能だと思って、上のような写像を考えている

2.3 第二同型定理

同型定理と呼ばれるものは他にもいくつかある



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古賀正樹さんの動画

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