ベクトル解析

「数学1B」

ベクトル解析

クロネッカーのデルタ、エディントンのイプシロン

線積分・面積分

1.ベクトルと行列式

共面ベクトル、点Qを通る平面の方程式、ベクトルの外積、外積の性質、スカラー3重積、ベクトル3重積、面積ベクトル

2.ベクトル値関数

1変数のベクトル値函数の微分公式、ベクトル値函数の大きさと向きの条件、曲線の長さ、フレね・セレーの公式、今日戦場の点の曲率とるい率、速度ベクトルと加速度ベクトル、一変数ベクトル値函数の積分公式、曲面の面積

3.スカラー場とベクトル場

空間ベクトルば内の流線の微分方程式、位置ベクトルのグラディエント、∇の基本公式、位置ベクトルのノルムの∇に関する公式、等位曲線状の点における接平面の方程式、rotの基本公式、divの公式、位置ベクトルのrotに関する公式、divrotとrotgradの公式、空間ベクトル場がscalar potentialを持つ条件、空間ベクトル場がベクトルポテンシャルを持つ条件

4.せん積分と面積分

勾配ベクトルの接線線積分、面要素によるスカラー場の面積分、面要素によるスカラー場の面積分

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1 ベクトルとベクトルの積

1.1 3次元ベクトル

1.2 ベクトルの演算

1.3 基底ベクトル

クロネッカーのδ

レヴィ・チビタテンソル

1.4 ベクトルの演算

・スカラー三重積

・ベクトル三重積

2 場とその微分

2.1 場

・スカラー場

・ベクトル場

2.2 多変数関数の微分

・偏微分

・全微分

2.3 スカラー場の特徴づけ

・勾配ベクトル

2.4 ベクトル場の特徴づけ

・発散

2.5 ベクトル場の特徴づけ

・回転

2.6 ベクトルの分解

全てのベクトル場は湧き出し・回転のみでかけるのか？

ヘルムホルツの定理

2.7 積の微分

2.8 二階微分

2.9 直交曲線座標系

座標は考えている物体の形に応じて選ぶのが良い

次は座標を変えると、どう写像が変わるのかの話である

3 積分

3.1 線積分

スカラーあるいはベクトルを曲線にそって積分する

3.2 面積分

スカラーあるいはベクトルを曲面S上で積分する

3.3 体積分

スカラーあるいはベクトルをある領域内部で積分する

3.4 中身と端の関係

3.5 積分領域に関する注意

3.X 微分形式

微分形式はMaxwell方程式、解析力学、流体力学なども一般化できる

他の分野にヒントがあるかもしれない！と考える

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「解析学概論 -川平友規-」

第1講 ベクトルの内積・外積

ベクトル解析とは、曲線、曲面などの定量的な性質をベクトルを用いて解析する理論である

ノルム

内積

外積

直線

平面などを定義する

第2講 ベクトル値関数の微分と曲線

勾配ベクトル

曲線

速度ベクトル

を定義する

第3講 勾配ベクトル場の線積分

ハイキングの原理

ある日、ハイキングに行ったとする

点Aからスタートし、歩き回り、再び点Aに戻るとき私たちの標高は上下を繰り返し、再びAと同じ高さに戻る

ごく当たり前のことだが、この事実をハイキングの原理として数学的に定式化する

野山の傾斜がどのように分布しているかを表現するものとして勾配ベクトル場を導入する

ハイキングの線積分による表現

次に、野山を歩きながら標高の増減をカウントしていく様子を線積分として表現してみる

第4講 グリーンの定理

第5講 曲面のパラメーター表示

第6講 関数の面積分

第7講 ベクトル場の面積分

第8講 ベクトル場の回転・発散とポテンシャル

第9講 回転とストークスの定理

第10講 ストークスの定理の証明

第11講 発散とガウスの発散定理

第12講 ガウスの発散定理の証明

第13講 微分形式入門

第14講 外微分とストークスの定理

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「物理のかぎしっぽ ベクトル解析」