テンソルと奮闘

わかりたくて院試対策で格闘してたけど、線形代数とか微積ぐらい腹落ちした理解はまだできてない・・

やればやるほどわからなくなってくる。。？

テンソル

物理現象は座標系によらないので基底ベクトルを省略した表記は厳密性を欠く

連続体の力学ではベクトル値ベクトル関数が重要な役割を果たす。これは物理的には矢印ベクトルの一次変換であり、数学的にはテンソルで表現される。

マトリックスに基底が導入されたようなもの

テンソルの基底を生成するために２つのベクトルからテンソルを生成するテンソル積という演算を導入する

なお力学におけるベクトルとテンソルの定義は線形代数やベクトル解析における定義と若干異なっている

物理の鍵しっぽ

テンソルの気持ちが分かったかも知れん！！

基底が導入ってそういうことだったんかな

でもこの動画は数学的にごまかしすぎてまだよくわからないなあ

テンソルについてとても良い

qiita

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「テンソル積-Wikipedia-」

数学におけるテンソル積は線形代数学で多重線形性を扱うための線型化を担う概念で、きちのベクトル空間・加群など様々な対象から新たな対象を作り出す操作の1つである

そのようないずれの対象に関しても、テンソル積は最も自由な双線型乗法である

共通の体K上の２つのベクトル空間V, Wのテンソル積は再びベクトル空間をなす

ベクトル空間のテンソル積を繰り返して得られるテンソル空間は物理的なテンソルを数学的に定式化する

テンソル空間に様々の積を入れて様々な多重線形代数・クリフォード代数が定式化されるが、その基本となる演算がテンソル積である

1 定義

1.1 基底を用いた定義

1.2 商としての定義

1.3 記法について

普遍性

線型写像のテンソル積

双対空間との関係

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「20分でわかるテンソルの本質」

1 断面の取り方によって応力は変化する

ポイント

あとでどんな断面を指定されてもその面における応力がわかるようにしておく

そうすることで、ある位置における応力を理解したことになる

2 応力テンソルの紹介

１個目の添字で断面を、二個目の添字で向きを指定している

座標が大きい側の面をしてしてくれている

他の面は釣り合いから求まる

他の面が来てもこの組み合わせで求められる

これを二次元の応力変換公式になっている

3 応力テンソルっぽい公式t = T・nの求め方

tが応力である

4 2次元の応力変換公式

ポイント 単位法線ベクトルと内積をとって垂直応力を抜き出す

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「Youtube先生シリーズ」

第1講 自然基底

まず、座標系を設定する

これが局所座標系と言われ、それに分類されるやつが自然基底や双対基底がある

曲がった規定ではユークリッド空間のように全てのベクトルが表せるとは限らない

自然基底とは、位置ベクトルをそれぞれのパラメーターで偏微分したもの

自然基底はパラメーター曲線の一部というか、接ベクトルになっている

θによるパラメータ曲線を見るなら、θ以外は固定しておく

第2講 双対基底

自然基底同士の内積は正規直交規定ではない

斜交座標では内積で成分が取り出せない

ペアになる基底との内積が正規直交基底のような性質を満たすようにやっていくぞい

第3講 ベクトルの座標変換則

第4講 テンソル完全掌握

「テンソルの定義とその変換則に隠された秘密」

Point

・テンソルはベクトルの一次変換を表すものである

・ベクトルは座標変換に対し、不変である

この２つがわかれば、テンソルが座標変換に対して不変であり、テンソルの座標変換公式がわかる

・応力テンソル(nからfへの一次変換)

・慣性テンソル(ωからLへの一次変換)

・電磁テンソル（vからfへの一次変換）

この３つでテンソルに対する理解を深める

断面を指定して、その断面に対して力を求める

基底を選んで、ベクトルとベクトルの間を結んでいる行列にあたる部分

しかし、多次元の配列として表現されていたら全てテンソルというわけではなく、テンソル自身は特定の座標系によらないで定まる対象である

これがテンソルっぽい

この要請をもとに得られるのが、それぞれの座標変換公式である

まず、ベクトルは座標変換によって不変である

テンソルは単体として存在するのではなく、ベクトルとセットで方程式の形で与えらえれる

ベクトルが不変なら、その間をとりもっているテンソルの不変じゃないとおかしい！

なので、fが不変に保たれるような成分の変換をする

大学一年のときにやった表現行列や！！！

第5講 テンソルの座標変換則

テンソルは一次変換を表すものだった

基底をとったときの成分同士を繋いでくれるものが表現行列だった

テンソルはベクトル同士の関係なので、基底をとって行列に落とし込まないと表現できひん

座標変換行列は新しい基底を古い基底で成分表示することで得られる

ここまでは線形代数でやった

一般相対論やリーマン幾何学だと、自然規定をとるのでそれの座標変換則がPという行列にきいてくる

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「ざっくりテンソル積を理解しよう」

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