破産確率
参考
以下の記事はわかりやすいが、定率の計算式が微妙に異なる。
破産の確率の計算について
<問題>
勝つと a 円もらえ、負けると b 円失う賭がある。勝つ確率を P とする。あなたは、現在、n 円持っている。この賭を際限なく繰り返すとき、破産する(所持金が0以下になる)確率はいくらか。
※ 最後に借金が残る場合もありえます。たとえば、a=15、b=10、n=10 のとき、「勝ち(25円)→ 負け(15円)→ 負け(5円)→ 負け(-5円)」となれば、5円の借金をかかえて破産です。
$ P \leqq (a+b)のときは、「1回あたりの期待値≦0」 なので、やるだけ無駄です。この場合、破産の確率は 「1」 。つまり、際限なくやっていれば必ず破産します。そこで、以下では $ P > \frac{b}{(a+b)}とします。
a=b で、n/b が整数の場合、破産の確率が次のようになる。
$ \biggl(\frac{1-p}{p}\biggr)^\frac{n}{b}
例)Aさんは、資金 200万円で株をやっている。トレード1回ごとの勝率は 60%で、勝つときは 10万円儲け、負けるときは 10万円損をする。Aさんの破産の確率はいくらか。
a=b=10、n=200、P=0.6
$ \biggl(\frac{1-0.6}{0.6}\biggr)^{20}=0.0003...
というわけで、a=b の場合は簡単です。そうでないときは、どうするのか?
a と b が異なる整数の場合、数式は書き出せるのですが、高次方程式の解(それも複素数の解)を求める必要があり、実用的でありません。簡単な近似式がないものかと少し考えてみたのですが、わかりませんでした。
そこで近所の図書館へ行き、『確率論とその応用』 という本(W・フェラー著、確率論の名著らしいです)を借りてパラパラ見てみると …。ありました!!さすがに名著といわれるだけのことはあります(笑)
フェラーの本に出ている式に少し手を加えることで、次のように結論できます。
まず損益比 R を R=a/b で定義します。
0<x<1 の範囲における、次の方程式の解を S とします(この範囲における解は1つしかありません)。
$ Px^{R+1}-x+1-P=0
このとき、次の評価式が成立します。
$ S^{\frac{n}{b}+1} < 破産の確率 \leqq S^{\frac{n}{b}}
n/b と R がともに整数の場合は、右辺の等号が成立します。つまり、破産の確率$ =S^\frac{n}{b} です。
この評価式の証明は、数学の素養があればそれほど難しくありません。知りたい人は、フェラーの本を見てください。フェラーの 『確率論とその応用』 は、「1」 と 「2」 があり、それぞれ上巻・下巻に分かれています(つまり全4巻)。この評価式は、「1」 の下巻、461ページにある式(8・12)から導くことができます。
さて、賭け金を一定にするのではなく、資金に対して一定の比率で賭けていく場合はどうでしょうか。
つまり、その時点の資金を A 円とするとき、一定の比率 k (0<k<1)を用いて、勝てば R×k×A 円儲け、負ければ k×A 円損するように賭けるとします。
たとえば、損益比 R(=利益÷損失)が 2 とします。k=0.1 なら、常に資金の 10%をリスクにさらします。資金 100万円なら、負けは 10万円の損、勝ちは 20万円の得となるように賭け、それに勝って資金が 120万円になれば、次は、負けは 12万円の損、勝ちは 24万円の得となるように賭けるわけです。
はじめの資金を $ A_0円とし、資金が B 円以下になったら破産とします。
W 回勝って、L 回負けたとき、資金が B 円以下になって破産する条件は、次の式です。
$ \bigl(1+Rk\bigr)^W\bigl(1-k\bigr)^LA_0 \leqq B
対数をとって変形すると次のようになります。
$ W\log\bigl(1+Rk\bigr)-L\bigl|\log\bigl(1-k\bigr)\bigr|+\log\biggl(\frac{A_0}{B}\biggr) \leqq 0
a、b、n を次のように定義します。
$ a=\log\bigl(1+Rk\bigr) \quad b=\bigl|\log\bigl(1-k\bigr)\bigr| \quad c=\log\biggl(\frac{A_0}{B}\biggr)
そうすると上の式は
$ Wa-Lb+n \leqq 0
と同じことです。
結局、この問題は 「資金が n 円、勝つと a 円儲け、負けると b 円失うときの破産の確率は?」 と同じです。つまり、このページのはじめの <問題> に還元されるわけです。上に書いた確率の評価式は、a、b、n が整数でなくても成立するので、それを適用すれば評価が出せます。