圏論
圏 (Category) とは
対象 (Object) のあつまりと射 (Morphism) のあつまりを組み合わせたもの。
あつまりとは集合とは限らない。(!!)
対象 (Object) とは
数、関数、集合(!!)、圏(!!)
集合のあつまり、圏のあつまり、もある...。
射 (Morphism) とは
始域 (Domain) と終域 (Codomain) と呼ぶ対象があるもの。
イメージは矢印や写像。
あくまで結果的なイメージであり、例えば考え方として写像が先行しているわけではない。
https://scrapbox.io/files/64c645057b78d1001b33abc6.png
射は合成可能である。
https://scrapbox.io/files/64c6483d809274001cf1e651.png
射の合成は結合律を満たす。
https://scrapbox.io/files/64c64a2b017893001cb3a4fb.png
全ての対象について恒等射が存在する。
https://scrapbox.io/files/64c64bf1851ecd001bb8e5da.png
圏の例
対象が1つで自分自身への射のみ存在する。
https://scrapbox.io/files/64c6563103f8d3001c420397.png
自分自身の射は恒等射になり、それは合成可能であり結合律を満たす。
対象が2つ
https://scrapbox.io/files/64c6588fe03e38001b18cda2.png
同じ始域・終域を持つような射が複数あってもよい。
イメージとして、全ての対象が射で繋がっている必要はない。
対象が3つ
https://scrapbox.io/files/64c658a7cbca4e001c276dd5.png
ある射の終域と別の射の始域が一致するとき、合成できなければならない。
空集合
対象は空集合
射は空集合
集合と写像
対象は全ての集合
射は全ての写像
写像の合成
写像の結合律
恒等写像
実数と順序
対象は全ての実数
射は順序≦
https://scrapbox.io/files/64c65d4b0401ca001b334ead.png
関手 (Functor) とは
圏から圏への対応
https://scrapbox.io/files/64c668b467771d001b87b42b.png
対象を対象へ写す。
射を射へ写す。
始域は始域へ写す。
終域は終域へ写す。
恒等射は恒等射へ写す。
合成を保つ。
関手の例
自分自身へ写す対応
恒等関手
直積
参考