Woodburyの公式

一般に正方行列 A, B に対して以下のWoodbury の公式が成り立つ

$ \left(\mathbf{A}+\mathbf{C B C}^{T}\right)^{-1}=\mathbf{A}^{-1}-\mathbf{A}^{-1} \mathbf{C}\left(\mathbf{B}^{-1}+\mathbf{C}^{T} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{C}\right)^{-1} \mathbf{C}^{T} \mathbf{A}^{-1}

$ \left(\mathbf{A}+\mathbf{U B V}\right)^{-1}=\mathbf{A}^{-1}-\mathbf{A}^{-1} \mathbf{U}\left(\mathbf{B}^{-1}+\mathbf{V A}^{-1} \mathbf{U}\right)^{-1} \mathbf{V A}^{-1}

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これを用いると

$ \mathbf{Q}_{MM}=\mathbf{K}_{MM}+\mathbf{K}_{M N}\left(\mathbf{\Lambda}+\sigma^{2} \mathbf{I}\right)^{-1} \mathbf{K}_{N M}

に対して

$ \mathbf{Q}_{MM}^{-1}=\mathbf{K}_{MM}^{-1}-\mathbf{K}_{MM}^{-1}\mathbf{K}_{M N}\left(\mathbf{K}_{NM} \mathbf{K}_{MM}^{-1}\mathbf{K}_{MN} + \mathbf{\Lambda}+\sigma^{2} \mathbf{I}\right)^{-1} \mathbf{K}_{N M}\mathbf{K}_{MM}^{-1}

ついでに、

$ \mathbf{K}_{MM}\mathbf{Q}_{MM}^{-1}\mathbf{K}_{MM}=\mathbf{K}_{MM}-\mathbf{K}_{M N}\left(\mathbf{K}_{NM} \mathbf{K}_{MM}^{-1}\mathbf{K}_{MN} + \mathbf{\Lambda}+\sigma^{2} \mathbf{I}\right)^{-1} \mathbf{K}_{N M}