P. Walters, An Introduction to Ergodic Theory メモ
Peter Walters によるエルゴード理論の入門書「An Introduction to Ergodic Theory」を読んだときの個人的メモです。
記号・記法
$ \bm Z 整数全体
$ \bm Z^+ 非負整数
$ \bm R 実数全体
$ R^+ 非負実数
$ \mathbb C 複素数全体
$ \empty 空集合
$ B\setminus A = \{x\in B\mid x\notin A\}
$ A\triangle B = (A\setminus B)\cup(B\setminus A)
$ 2^X = \{S\sub X\}
iff "if and only if"
w.r.t. "with respect to"
Chapter 0
§0.4 絶対連続測度と条件付き期待値
このセクションでは$ (X, \mathscr B)を可測空間、$ \mu, mを$ (X, \mathscr B)上の確率測度とする。
定義(絶対連続)
$ \muは$ mに関して絶対連続 ($ \textcolor{cyan}{\mu \ll m}と表記 ) $ \overset{\text{def}}{\iff}$ B\in\mathscr Bに対し$ m(B)=0なら常に$ \mu(B)=0
また$ \mu\ll mかつ$ m\ll \muのとき2つの測度$ m, \muは 同値 であると定める。
定理0.10 (Radon-Nikodym)
$ \mu\ll m\iff \exist f\in L^1(m) \text{ with } f\geq 0,\int f\ \mathrm{d}m = 1 \text{ s.t. } \forall B\in\mathscr B,\ \mu(B)=\int_B f\ \mathrm{d}m
さらにこの$ fは a.e. で一意。
Radon-Nikodym の$ fは$ \muの$ mに関するRadon-Nikodym 微分と呼ばれ、$ \textcolor{cyan}{\frac{d\mu}{dm}}と表す。
絶対連続の逆の概念は次で定義される
定義(特異測度)
$ \mu, mが互いに特異 (mutually singular) である ($ \textcolor{cyan}{\mu\bot m}と表記)
$ \overset{\text{def}}{\iff} \exist B\in\mathscr B\text{ s.t. }\mu(B)=0\text{ and }m(X\setminus B) = 0.
定理0.11 (Lebesgue 分解)
確率測度$ \mu, mに対し$ \exist! p\in \lbrack0, 1\rbrack,\ \exist!\mu_1,\mu_2:\text{prob. measure on }(X, \mathscr B)\text{ s.t. }
$ \mu = p\mu_1 + (1-p)\mu_2,\ \mu_1\ll m,\ \mu_2\bot m
条件付期待値
$ \mathscr C\sub \mathscr Bを部分$ \sigma-代数とする。$ \textcolor{cyan}{E(-/\mathscr C)}:L^1(X, \mathscr B, m)\to L^1(X, \mathscr C, m)を次のようにして構成する。
$ f\in L^1(X, \mathscr B, m)が非負実数値を取るとき
$ C\in\mathscr Cに対し$ \mu_f(C)=a^{-1}\int_C f\ dmとすれば$ \mu_fは$ (X,\mathscr C)上の確率測度となり、$ \mu_f\ll mである。よって定理0.10より Radon-Nikodym 微分が存在する。そこで $ E(f/\mathscr C) = \frac{d\mu_f}{dm}とする。
それ以外、すなわち$ f\in L^1(X,\mathscr B, m)が実数値や複素数値を取るとき
$ fを正負、実虚で分け、個別に$ E(-,\mathscr C)を計算し、それを線形的に結合する
この$ E(f/\mathscr C)を$ \mathscr Cに関する条件付期待値と言う。
Radon-Nikodym 微分の一意性より $ f\in L^1(X,\mathscr B,m)に対し $ \int_C g\ dm=\int_C f\ dmとなる$ \mathscr C-可測関数$ gは条件付期待値$ E(f/\mathscr C)ただこれだけであると分かる。
$ E(-/\mathscr C)は次の性質を満たす。
1. $ E(-/\mathscr C)は線形
2. $ f\geq 0\implies E(f/\mathscr C)\geq 0
3. $ f\in L^1(X, \mathscr B, m)かつ$ g:X\to\bm Rは$ \mathscr C-可測で有界な関数のとき$ E(fg/\mathscr C) = gE(f/\mathscr C)
4. $ |E(f/\mathscr C)| \leq E(|f|/\mathscr C)
5. $ \mathscr C_2\sub\mathscr C_1\implies E(E(f/\mathscr C_1)/\mathscr C_2) = E(f/\mathscr C_2)\text{ for }f\in L^1(X, \mathscr B, m)
§0.5 Function Spaces
定義 ($ L^p-空間)
$ (X, \mathscr B, m)を確率空間、$ p\in \mathbf R_{\geq 1}とする。
$ A^p = \{f:X\xrightarrow{\text{measurable}} \mathbf{C} \mid |f|^p \text{ is integrable} \}
の上の同値関係 $ {\sim}を
$ f \sim g \overset{\text{def}}{\iff} f(x) = g(x) \text{ a.e. } x\in X
で定める。この同値関係で割ったものを
$ \textcolor{cyan}{L^p(X, \mathscr B, m)} \overset{\text{def}}{=} A^p / {\sim}
と書く。$ L^pは通常の和とスカラー倍で$ \mathbf C-線形空間となる。また$ f\in L^p(X, \mathscr B, m)と書いて$ f:X\to\mathbf Cかつ$ |f|^pは可積分であることにする。
$ L^p上のノルムを$ f\in L^pに対し
$ \textcolor{cyan}{\|f\|_p} \overset{\text{def}}{=} \left( \int |f|^p\ dm \right)^{\frac{1}{p}}
で定める。このノルムは完備であるから$ L^p(X,\mathscr B, m)は Banach 空間である。
また
$ L^p_{\mathbf R}(X, \mathscr B, m) \overset{\text{def}}{=} \{ f:X\to\mathbf R\mid |f|^p \text{ is integrable}\}/{\sim}
とすると、これは$ \mathbf RBanach 空間である。
有界な可測関数全体は $ L^p(X,\mathscr B, m)において稠密である。
また$ m(X)<\inftyの下で$ 1\leq p < q\implies L^q(X,\mathscr B, m) \sub L^p(X, \mathscr B, m)。
定義 (Hilbert 空間)
Banach 空間 $ \mathscr H でそのノルムが内積から与えられているものを Hilbert 空間 という。
例 ($ L^2-空間)
$ L^2(X, \mathscr B, m)は Hilbert 空間である。実際、内積として $ (f, g) = \int f\overline{g}\ dmを取ればよい。
命題 (Cauchy-Schwarz の不等式)
Hilbert 空間 $ \mathscr H に対し、
$ |(f, g)| \leq \|f\| \|g\|\quad \forall f, g\in\mathscr H.
定義 (可分空間)
$ Xを位相空間とする。$ Xの稠密部分集合で濃度が高々可算なものが存在するとき$ Xは可分であるという。
命題 (可分$ L^2空間の特徴付け)
$ L^2(X, \mathscr B, m)が可分
$ \iff$ \exist \{E_n\}_1^\infty \sub \mathscr B \text{ s.t. } \forall \varepsilon >0, \forall B\in\mathscr B \text{ with } m(B) < \infty,\ \exist n \text{ s.t. } m(B\triangle E_n)<\varepsilon
(任意の 可測集合を$ mの意味でいくらでも近似できるような可算個の可測集合族が取れる)
$ Xが距離化可能で$ \mathscr B が Borrel σ-代数で$ m(X)<\inftyのときは上の命題の条件を満たす。よって、我々が興味のある多くの$ L^2(X, \mathscr B, m)は可分と考えてよい。
命題 (可分 Hilbert 空間の性質)
$ \mathscr Hを可分 Hilbert 空間とする。このとき$ \mathscr Hは正規直交基底を持つ。
よって$ \{e_n\}_1^\inftyを正規直交基底とすると$ \forall v\in\mathscr Hに対し$ v = \sum_{n=1}^\infty a_n e_n \quad (a_n\in\mathbf C)と一意的に書ける。
また、Parseval の等式が成り立つ:
$ \|v\|^2 = \sum_{n=1}^\infty |a_n|^2 < \infty.
定義 (Hilbert 空間の同型 / ユニタリ作用素)
$ \mathscr{H_1, H_2}を Hilbert 空間とする。線形写像としての同型$ W:\mathscr H_1\to\mathscr H_2でノルムを保つ、すなわち$ \|Wv\| = \|v\|\quad \forall v\in \mathscr H_1が成り立つものを Hilbert 空間の間の同型 という。
また、$ \mathscr H_1 = \mathscr H_2のとき$ Wは$ \mathscr H_1上の ユニタリ作用素 であるという。
Remark ( 可分 Hilbert 空間の分類)
次元が$ kの Hilbert 空間は$ \mathbf C^kと Hilbert 空間として同型である。
無限基底を持つ Hilbert 空間で可分なものは全て Hilbert 空間として同型である。
定義 (直交補空間 / 直交射影)
$ Vを Hilbert 空間$ \mathscr Hの閉部分空間とする。このとき直交補空間$ \textcolor{cyan}{V^\bot} \overset{\text{def}}{=} \{h\in\mathscr H \mid (v, h) = 0 \quad \forall v\in V \}もまた閉部分空間となり、$ V\oplus V^\bot = \mathscr Hとなる。
線形作用素$ P:\mathscr H = V\oplus V^\bot \ni (f_1, f_2) \mapsto f_1 \in Vを$ \mathscr Hの$ Vへの直交射影という。
命題 (直交射影の性質)
$ P:\mathscr H\to Vを直交射影とする。このとき$ P(f)\quad(f\in \mathscr V)は
$ \|f-P(f)\| = \inf\{\|f-v\|\mid v\in V\}
を満たす唯一の$ Vの元である。
また、$ P|_V = \mathrm{id}_V,\quad (Pf, g)=(f, Pg)\quad \forall f, g\in \mathscr Hが成り立つ。
Recall (条件付き期待値)
さて、$ \mathscr Cを$ \mathscr Bの部分σ-代数とすると条件付き期待値作用素
$ E(-/\mathscr C):L^1(X,\mathscr B, m)\to L^1(X, \mathscr C, m)
が定まるのだった。$ L^2(\mathscr B)\sub L^1(\mathscr B)より$ E(-/\mathscr C)は$ L^2上に作用している。
定理0.12 (条件付き期待値は直交射影)
$ (X, \mathscr B, m)を確率空間、$ \mathscr Cを$ \mathscr Bの部分σ-代数とする。このとき$ E(-/\mathscr C)|_{L^2(X,\mathscr B, m)}は$ L^2(X, \mathscr C, m)への直交射影。
(証明)
$ f\in L^1(X, \mathscr B, m)に対し$ E(f/\mathscr C)は
$ \int_C h\ dm = \int_C f\ dm\quad \forall C\in\mathscr C
を満たす唯一の$ \mathscr C-可測関数$ hであった。$ Pを$ L^2(X, \mathscr B, m)から$ L^2(X, \mathscr C, m)への直交射影とする。このとき$ f\in L^2(X)に対して$ P(f)は当然$ \mathscr C-可測であり$ C\in\mathscr Cに対し、
$ \int_C f\ dm = (f, \chi_C) = (f, P\chi_C) = (Pf,\chi_C)=\int_C Pf\ dm.
よって$ Pf = E(f/\mathscr C).\qquad \square
§0.6 Haar Measure
定義 (正則測度)
$ \mathscr B(X)上の測度$ mが正則である
$ \overset{\text{def}}{\iff} \forall \varepsilon>0, \forall E\in\mathscr B(X)に対し$ Xのあるコンパクト部分集合$ Mと開集合$ Uが存在して
$ M\sub E\sub U かつ $ m(U\setminus M) < \varepsilon.
命題 (距離化可能と正則測度)
$ Xが距離化可能ならば$ (X, \mathscr B(X))上の任意の測度は正則である。
定理 (Haar測度の一意的存在)
コンパクト位相群$ Gに対し、$ \mathscr B(G)上の正則測度$ mで
$ m(xE) = m(E)\quad \forall x\in G,\ \forall E\in \mathscr B(G)
を満たすものが存在する (上の等式を満たす測度は回転不変であるという)。
また、正則な回転不変測度の存在は一意的である。この速度を Haar測度 という。
注意
$ mを $ Gの Haar 測度とする。
$ m(Ex) = m(E)\quad (\forall x\in G,\ \forall E\in\mathscr B(G))
$ Gが距離化可能なら一意性の条件に正則性を外しても良い
回転不変性は次と同値:
$ \int_G f(xy)\ dm(y) = \int_G f(y)\ dm(y)\quad \forall f\in L^1(m),\ \forall x\in G
$ Uが$ Gの空でない開集合ならば$ m(U) > 0
$ (\because)\quad G=\bigcup_{g\in G} gU = g_1U\cup g_2 U\cup\cdots \cup g_k U($ Gのコンパクト性より)
定義 (直積測度)
$ m_iを$ G_i上の Haar 測度とする ($ i\in I)。このとき 測度族$ \{m_i\}の 直積 を直積群$ \prod_{i\in I} G_i 上の Haar 測度$ mとして定める。
例 (Haar 測度)
$ K = \{z\in\mathbb C\mid |z| = 1\}の Haar 測度は正規化された$ K上の Lebesgue 測度である。
トーラス$ K^nの Haar 測度は$ K上の Haar測度を$ n個直積した測度である。
$ \{0, 1\}上の Haar 測度は各点の重みが$ 1/2である測度
$ \{0, 1\}^\mathbb Z上の Haar 測度は $ \{0, 1\}上の Haar 測度の直積である。
命題 (回転不変な距離の存在)
任意のコンパクト距離化可能群$ Gに対し、次を満たす距離$ \rhoが存在する:
$ \rho(gx, gy) = \rho(x, y) = \rho(xg, yg).\quad \forall g, x, y\in G
実際、$ dを$ Gの距離、$ mを Haar 測度とすると
$ \rho(x, y) = \int\left( \int d(gxh, gyh)\ dm(g)\right) dm(h).
が上の条件を満たす。
§0.7 Character Theory
定義 (指標)
$ Gを局所コンパクトなアーベル群とする。
$ \textcolor{cyan}{\widehat G} = \{\phi\mathpunct{:}G\to K\mid \phi \text{ は連続準同型}\}
$ \widehat Gの元を$ Gの指標という。
$ \widehat Gは各点での積によりアーベル群となる。また$ \widehat Gはコンパクト開位相により局所コンパクトなアーベル群となる。
例
§0.8 で次を見る:
$ \widehat K\cong \mathbb Z,\ \widehat {K^n} \cong \mathbb Z^n
事実
1. $ G は可算開基を持つ$ \iff$ \widehat Gは可算開基を持つ
2. $ Gはコンパクト$ \iff$ \widehat Gは離散
1. と 2. より $ Gがコンパクト距離化可能群 $ \iff $ \widehat Gは可算離散群
3. $ Gについて自然に $ G\cong \widehat{(\widehat{G})}\mathpunct{:} a\mapsto \alpha.ここで$ \alpha(\gamma) = \gamma(a)\quad \forall \gamma\in\widehat G.
4. $ Gをコンパクトとする。
$ Gが連結$ \iff$ \widehat Gは捻じれ部分群を持たない
5. $ G_1, G_2を局所コンパクトなアーベル群とする。このとき
$ \widehat{G_1\times G_2} = \widehat G_1\times \widehat G_2.
6. 部分群$ \Gamma\sub \widehat Gに対し$ H=\{g\in G\mid \gamma(g) = 1\quad \forall \gamma\in\Gamma\}は$ Gの閉部分群であり$ \widehat{G/H} = \Gamma.よって$ \Gammaは$ G/Hに作用しているとみることが出来て、その作用は$ G/H\to \Gammaという形であると分かる。
7. $ Gの閉部分群$ H\neq Gに対し$ 1\neq \gamma\in\widehat Gで$ \gamma(H) = 1であるものが存在する。
8. コンパクトな$ Gに対し$ \widehat Gの元は$ L^2(m)の元と互いに直交する。ここで$ mは$ GのHaar測度
$ (\because) $ \int_G\gamma(x)\ dm(x) = 0\quad \text{if }\gamma \neq 1を示せばよい。
$ a\in Gとすると$ mは Haar 測度なので$ \int\gamma(x)\ dm(x) = \int\gamma(ax)\ dm(x) = \gamma(a)\int\gamma(x)\ dm(x).$ aを$ \gamma(a)\neq 1となるように選べば$ \int\gamma(x)\ dm(x)を得る。$ \square
9. $ Gがコンパクトなら$ \widehat Gの元は$ L^2(m)に対する直交基底を形成する。よって各$ f\in L^2(m)に対して$ f=\sum_{\gamma\in \widehat G} a_\gamma \gammaと一意的に表示される ($ a_\gamma\in \mathbb C)。この展開を$ fの Fourier級数 と呼ぶ。$ G=Kのとき$ fのFourier級数は古典的なものと一致する。
10. 連続自己準同型 $ A\mathpunct{:}G\to Gに対し、$ \widehat A\mathpunct{:}\widehat G\to\widehat Gを$ \gamma\in\widehat Gに対し$ \widehat A\gamma = \gamma\circ Aで定める。このとき
$ Aが単射$ \iff$ \widehat Aが全射
$ Aが全射$ \iff$ \widehat Aが単射
よって$ Aが連続自己同型$ \iff$ \widehat Aが連続自己同型