Prior knowledge for cohomology
Let $ G be a group. A left G-module consists of an abelian group $ M together with left group action $ \rho : G \times M \rightarrow M such that
$ g\cdot(a + b) = g\cdot a + g\cdot b
A righ G-module is define similary
Example
$1
Submodule
A submodule of a G-module M is a subgroup $ A \in M that is stable under the action of G,
i.e. $ g\cdot a \in A for all $ g \in G and $ a \in A. Given a submodule A of M, the quotient module $ M/A is the quotient group with action $ g\cdot(m + A) = g\cdot m + A
The collection of all G-modules is category
Given such a G-module M, it is natural to consider the submodule of G-invariant elements:
Define: G-invarient elements
$ M^G = \{x \in M | \forall g \in G: gx = x \}
$ \oplus
For $ n \geq 0 , let $ C^n(G, M) be the group of all functions from $ G^n to $ M
$ \partial_n [v_0,v_1,\ldots,v_n] = \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} [v_0,\ldots,\hat{v_k},\ldots,v_n]
ここで $ [v_0,\ldots,\hat{v_k},\ldots,v_n] というのは $ [v_0,\ldots,v_k,\ldots, v_n] から$ v_kを除いたものを表すとする。
5-2. 補足2: 単体的複体のコホモロジー
図形を調べる方法のひとつに、その図形上にどんな関数が定義されるかを調べるという考え方がある。
ここでは、k次元の鎖$ c \in C_k(X) を入力して整数$ f(c) を出力する関数$ f : \, C_k(X) \to \mathbb{Z} を考える。ただし$ fは線形性
$ f(n_1 c_1 + n_2 c_2) = n_1 f(c_1) + n_2 f(c_2)
を満たすものだけを考え、このような関数全体を$ C^{k}(X) と書く。
$ C ^{k}(X) = \text{Hom}\left(C_k(X), \, \mathbb{Z} \right)
鎖を入力とする関数というと想像しにくいけれど、線形性に注目するといくらか判りやすくなる。
k次元単体全部を並べると$ s_1,\ldots, s_m だったとすると、k次元の鎖は
$ a_1 s_1 + \cdots + a_m s_m \quad( a_1,a_2,\ldots,a_m \in \mathbb{Z})
の形になり、fの線形性から
$ f ( a_1 s_1 + \cdots + a_m s_m ) = a_1 f(s_1) + \cdots + a_m f(s_m)
となる。したがって各k単体$ s_1,\ldots, s_m について
$ f(s_1) = f_1
$ f(s_2) = f_2
$ \vdots
$ f(s_m) = f_m
を決めれば、$ fの値は確定する。
値$ (a_1,\ldots, a_m )を決めれば鎖$ a_1 s_1 + \cdots + a_m s_m \in C_k(X)が決まるように、値$ (f_1,\ldots, f_m )を決めれば関数$ f \in C^{k}(X)が決まってしまう。どちらも各単体に重み付けをしていると考えれば、鎖$ c \in C_k(X)と関数$ f \in C^k(X)は似ている。$ C^k(X)は双対鎖(コチェーン)と呼ばれる。
$ C^{k}(X)に含まれる関数のうち、さらに次のような関数に注目する(1次元の場合を考える)。
どの2次元単体$ [a,b,c] についても、
$ f \left( \partial_2 [a,b,c] \right) = 0 、つまり $ f\left([a,b] + [b,c] + [c,a] \right) = 0
となる。
これは$ f の線形性から$ f \circ \partial_2 = 0 あるいは$ \forall c \in B_1(X) , \, f(c) = 0 と言い換えることができる。これをさらに「内部に穴のない2次元領域(=単連結領域)の境界となる閉曲線$ cに対しては$ f(c)=0となる」と言い換えると、コーシーの積分定理との類似や積分(微分形式)との関連が見え、それを追求していくとド・ラームコホモロジーにいたる(追記:cf.メモ:積分と微分形式)。
この性質を満たす関数全体を$ Z^{1}(X) で表す。
$ Z^{1}(X) = \{f \in C^{1}(X) | \, f \circ \partial_2 = 0 \}
ここで演算子$ \delta_k : \, C^{k} \to C^{k+1} を$ \delta_k(f) = f \circ \partial_{k+1} のように定義してやると、
$ Z^{1}(X) = \{f \in C^{1}(X) | \, \delta_1(f) = 0 \}
となりホモロジーに出てきた1次元サイクルの集合
$ Z_1(X) = \{c \in C_1(X) | \; \partial_1( c) = 0 \}
と対応した形になる。
関数$ f \in Z^{1}(X) は穴のない領域を回る輪っかに対しては値が$ 0 になる。ということはそうでない輪っかがあればそれについては0以外になってもよい。そして$ Z^{1}(X) に含まれる関数がどれくらいたくさんあるかを見ることで図形のつながり方を測ることができる。
しかしホモロジーのときと同様に、$ Z^{1}(X) には図形の形を見る上で役に立たない余計な関数が含まれている。それはどのような関数かというと、境界となる輪っか$ z \in B_1(X) だけでなくどんな輪っか$ z \in Z_1(X) に対しても$ f(z)=0 となってしまう関数。こうした関数がどれだけあっても図形のつながり方は反映されていない。
このような関数は、曲線$ lを入力したときの値$ f(l)が曲線の経路とは無関係に曲線の両端だけで決まってしまうような関数、と言い換えることができる。
なぜなら、どんな輪っか$ z についても$ f(z)=0 となるなら、点aから点bへ向かうふたつの経路$ l_1 と$ l_2 を取ると、$ l_1 - l_2 は輪っかなので$ f(l_1) - f(l_2) = f(l_1 - l_2) = 0 となり、$ f(l_1)=f(l_2) となる。つまり両端の点が同じなら経路と関係なくf(l)の値はひとつに決まる。逆に関数の値が曲線の両端だけで決まるなら、閉曲線は出発点と到着点が同じである曲線なので、輪っかを入力すると必ず0にならないといけない。
任意の曲線lについて$ f(l) の値が両端だけで決まるようにするには、0次元単体を入力する関数F \in C^{0}(X)があって、任意の1次元単体(線分)$ [a,b] について$ f \left([a,b] \right) = F([b]) - F([a]) となっていればいい。
このとき点aから点zへ向かう曲線lに対する$ f(l) の値は、$ f\left([a,b] + [b,c] + \cdots + [y,z] \right) = F([z]) - F (a) となり端点だけで決まる。
さらに「任意の$ [a,b] について、$ f([a,b] = F([b]) - F([a]) となる」というのは
「任意の$ c \in C_1(X) について$ f(c) = F(\partial_1(c)) となる」と言い換えられ、さらに「ある$ F で$ f = F \circ \partial_1 」あるいは同じことだけど「ある$ F で$ \delta_0(F)=f 」と言い換えられる。この性質を満たす関数全体を$ B^{1}(X) で表すと、
$ B^{1}(X) = \text{im} \delta_0 = \{f \in C^1(X) | \; \exists F \in C^{0} , \, \delta_0( F) = f \}
と書け、ホモロジーにおける
$ B_1(X) = \text{im} \partial_{2} = \{z \in C_1(X) | \; \exists c \in C_2(X) , \, \partial_2 (c) = z \}
と対応する。
そして$ Z^{1}(X) と$ B^{1}(X) を使って1次元コホモロジー群$ H^{1}(X) = Z^{1}(X) / B^{1}(X) が定義される。
1次元以外の各次元についても同様に定義される。
$ 0 \to C^0(X) \to^{\delta_0} C^1(X) \to^{\delta_1} \cdots \to^{\delta_{n-2}} C^{n-1}(X)\to^{\delta_{n-1}} C^n(X) \to 0
$ \delta_{k} \circ \delta_{k-1} = 0
$ Z^{k}(X) = \ker \delta_k = \{f \in C^{k}(X) | \; \delta_k(f) = 0 \}
$ B^k(X) = \text{im} \delta_{k-1} = \{ f \in C^k(X) | \; \exists F \in C^{k-1}(X) , \, \delta_{k-1}(F) = f \}
$ H^k(X) = Z^k(X) / B^k(X)
比較のためにホモロジーの場合を並べておく。
$ 0 \leftarrow C_0(X) \leftarrow^{\partial_1} C_1(X) \leftarrow^{\partial_2} \cdots \leftarrow^{\partial_{n-1}} C_{n-1}(X)\leftarrow^{\partial_n} C_n(X) \leftarrow 0
$ \partial_k \circ \partial_{k+1} = 0
$ Z_k(X) = \ker \partial_{k} = \{ c \in C_k(X) | \; \partial_k c = 0 \}
$ B_k(X) = \text{im} \partial_{k+1} = \{ z \in C_k(X) | \; \exists c \in C_{k+1}(X) , \, \partial_{k+1} c = z \}
$ H_k(X) = Z_k(X) / B_k(X)
Proposition 2.8.
If X is a point, then Hn(X) = 0 for n > 0 and H0
(X) ≈ Z.
Proof: In this case there is a unique singular n simplex σn for each n, and ∂(σn) =
P
i
(−1)
iσn−1
, a sum of n + 1 terms, which is therefore 0 for n odd and σn−1
for n
even, n ≠ 0. Thus we have the chain complex
··· →- Z
≈
------→Z
0
------→Z
≈
------→Z
0
------→Z →- 0
with boundary maps alternately isomorphisms and trivial maps, except at the last Z.
The homology groups of this complex are trivial except for H0 ≈ Z
行列成分で表した時Fで表現可能な空間を
行列式の変換でいくつかの独立なedgeで表せるとする。
微分して輪っかになる組み合わせを考える。
それらを表現するためのeの組み合わせがなんだか考えてみる。
ホモトピー同値なそれらを表現するためのEの集合と
Eでその境界が0にチェインを見たとき写像するための集合はおそらく違う。
Fで張れる空間を表すために必要なeしか出てこないので確かに
全てのEで張れる空間はそこには出てこない。
Fで張れる空間とは協会作用その取れる微分可能な空間のことである。
群は図形ではないけれど、ホモロジー・コホモロジーの手続きを流用して、群の特徴を反映した何らかの量を手に入れたい。
単体的複体のホモロジーでは、点(0次元単体)、線分(1次元単体)、三角形(2次元単体)、四面体(3次元単体)、……から鎖(チェーン)を定義して、そこからホモロジーを定義した。点は$ [a] 、線分は$ [a,b] 、三角形は$ [a,b,c] 、四面体は$ [a,b,c,d] のような形をしていた。
そこで、群Gの要素$ \sigma \in G を点、$ (\sigma_0,\sigma_1 ) \in G \times G を線分、$ (\sigma_0,\sigma_1,\sigma_2 ) \in G \times G \times G を三角形、……のようなものだと考えてみる。
ただし単体的複体の場合とは異なり、$ (\sigma_0,\ldots, \sigma_n) の「頂点」のなかに重複するものがあってもよいとする。また「頂点」の順番を入れ替えたものは互いに関係のない別のものと考える。つまり$ (a,b) と$ (b,a) とは互いに無関係なものと考え、$ (a,b) = - (b,a) とはならない。
$ G = \{ \sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_n \} とすると、各次元の鎖C_k(G)は
$ C_0(G) = \mathbb{Z}[G] = \{ a_1 \sigma_1 + a_2 \sigma_2 + \cdots + a_n \sigma_n | \; a_1,\ldots,a_n \in \mathbb{Z} \}
$ C_1(G) =\mathbb{Z}[G^2] = \{ a_{11} ( \sigma_1, \sigma_1 ) + a_{12} ( \sigma_1, \sigma_2 ) + \cdots + a_{nn} ( \sigma_n, \sigma_n ) | \; a_{11},\ldots , a_{nn} \in \mathbb{Z} \}
$ \vdots
$ C_k(G) =\mathbb{Z}[G^{k+1}] = \{ \sum_{l_0,\ldots,l_{k}} a_{l_0\cdots l_{k}} (\sigma_{l_0},\ldots, \sigma_{l_{k}} ) | \; a_{l_0\cdots l_{k}} \in \mathbb{Z} \}
と定義される。境界演算子も単体的複体のものを流用して
$ \leftarrow C_0(X) \leftarrow^{\partial_1} C_1(X) \leftarrow^{\partial_2} \cdots \leftarrow^{\partial_{k-1}} C_{k-1}(X)\leftarrow^{\partial_k} C_k(X) \leftarrow^{\partial_{k+1}} \cdots
$ \partial_k \left( \sigma_0,\sigma_1,\ldots, \sigma_k \right) = \sum_{l=0}^{k}(-1)^{l} ( \sigma_0,\ldots,\hat{\sigma_l},\ldots,\sigma_k )
まず$ C^{k}(G) = \text{Hom}(\mathbb{Z}(G^{k+1}), \, \mathbb{Z} ) のうち後ろの$ \mathbb{Z} を任意の加群Mに置き換え、 $ \text{Hom}(\mathbb{Z}(G^{k+1}), \, M ) を考える。ただしこの加群$ Mには群$ Gが作用しているとする。つまり群の要素$ \sigma \in G、Mの要素$ x \in Mについて、変換$ \sigma(x) \in Mが(群の演算と合う形で)定義されているとする。
例えば$ G=\text{Gal}(L/K) に対して$ M=L とすれば、$ G は$ Mに作用している。
ここで
$ \mathbb{Z}[G^{k+1}] = \left\{ \sum_{l_0,\ldots,l_{k}} a_{l_0\cdots l_{k}} \left(\sigma_{l_0},\ldots, \sigma_{l_{k}} \right) \middle| \; a_{l_0\cdots l_{k}} \in \mathbb{Z} \right\}
について考えると、群の要素$ \sigma \in G と各$ \left(\sigma_{l_0},\ldots, \sigma_{l_{k}} \right) について
$ \sigma (\sigma_{l_0},\ldots, \sigma_{l_{k}} ) =(\sigma \sigma_{l_0},\ldots, \sigma \sigma_{l_{k}} )
になることにすれば、$ G の $ \mathbb{Z}[G^{k+1}] にGに対する作用が定義できる。
こうして$ \mathbb{Z}[G^{k+1}] と$ Mの両方について$ Gが作用していることになった。
すると線型写像がスカラー倍を保存する$ f(kx)=k f(x) ということの類似で、関数$ f \in \text{Hom}(\mathbb{Z}(G^{k+1}), \, M ) のうち、$ G の作用を保存する写像、つまり各$ \sigma \in G について$ f(\sigma x) = \sigma f(x)となる写像というのを考えられる。このような写像を$ G線形写像とか$ G凖同型写像と呼ぶことにして、その集合を
$ \text{Hom}^{G}(\mathbb{Z}(G^{k+1}), \, M )