積の微分公式

$ (fg)'=f'g+fg'

導出

$ (f(x)g(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}

$ =\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}

$ =\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}f(x)

$ =f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \square

3つ以上の関数の積の場合も、2つの関数の積の場合を基本として導出できる

3つの関数の積の場合

$ (fgh)'=((fg)h)'=(fg)'h+(fg)h'=f'gh+fg'h+fgh'

3つ以上の関数の積の場合

$ \frac{d}{dx}(f_1f_2\cdots f_n)=\sum_{m=1}^n\left\{ (f_1f_2\cdots) \frac{d}{dx}(f_m\cdots f_n)\right\}