波動方程式を棒の粗密波から導出する

棒に次のような仮定をおく

1. 棒は1次元的な物体と見なせて、各点の位置は$ x のみで定めることができる

2. 棒の各部分は$ x 軸方向に並行な方向にのみ動き、変位は関数$ u(t,x) で定めることができる

棒が十分に細く、棒の各断面が全体として$ x 軸方向に一様に運動していると見なせればよい

3. 棒の線密度$ \rho は一定であり、圧縮・伸長に対する弾性係数$ k も一定である

棒の微小部分$ [x,x+h] は隣り合う部分からの弾性力のみで運動していると仮定して運動方程式を立てる

微小部分の質量は$ \rho h であり、$ x 軸方向の加速度は$ \frac{\partial^2}{\partial t^2}u(t,x) である

棒の微小部分$ [x,x+h] が$ [x+u(t,x), x+h+u(t,x+h)] に変形したときの弾性の法則から弾性力を導く

微小部分の伸び率は:

$ \frac{(u(x+h)+h-u(x))-h}{h}=\frac{u(x+h)-u(x)}{h}

$ \xrightarrow{h\to 0} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}

したがって、弾性力$ k\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} がこの部分で働く

棒の粗密波を考えているので、微小部分にかかる弾性力は:

$ k\frac{\partial}{\partial x}u(t,x+h)-k\frac{\partial}{\partial x}u(t,x)

したがって、微小部分における運動方程式を考えて:

$ \rho h\frac{\partial^2}{\partial t^2}u(t,x)=k\frac{\partial}{\partial x}u(t,x+h)-k\frac{\partial}{\partial x}u(t,x)

両辺を$ h で割って$ h\to 0 を考えることによって:

$ \rho\frac{\partial^2}{\partial t^2}u(t,x)=k\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(t,x) を得る