波動方程式を弦の振動から導出する

弦に次のような仮定をおく:

1. 密度一様な弦であり、微小部分$ [x,x+h] における質量$ m は弦の密度$ \rho を用いて$ m=\rho h で表せる

2. 張力は十分に強く、弦に対する重力は無視できる

3. 微小部分は鉛直方向にのみ動き、水平方向となす角は微小である

$ T_A, T_B を微小部分$ [x, x+h] の端点$ A,B における張力とし、水平方向となす角をそれぞれ$ \alpha, \beta とする

仮定3より、水平方向の張力は釣り合っているので:

$ T\coloneqq T_A\cos{\alpha}=T_B\cos{\beta} と定義する

鉛直方向に働く力は仮定2より張力のみであるので$ F は:

$ F=T_B\sin{\beta}-T_A\sin{\alpha} である

仮定1より、微小部分の質量は$ m=\rho h である

これらを用いて鉛直方向の運動方程式を考えると:

$ \rho h \frac{\partial^2 \bm{u}}{\partial t^2} = T_B\sin{\beta}-T_A\sin{\alpha}

$ \iff \frac{\rho}{T}\frac{\partial^2 \bm{u}}{\partial t^2} = \frac{1}{h}(\tan{\beta}-\tan{\alpha})

$ \tan は弦のなす傾きに等しいので、$ \tan{\beta}=\frac{\partial \bm{u}}{\partial x}(x+h), \tan{\alpha}=\frac{\partial \bm{u}}{\partial x}(x) より:

$ \frac{\rho}{T}\frac{\partial^2 \bm{u}}{\partial t^2} = \frac{1}{h}(\frac{\partial \bm{u}}{\partial x}(x+h) - \frac{\partial \bm{u}}{\partial x}(x))

$ \iff \frac{\rho}{T}\frac{\partial^2 \bm{u}}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 \bm{u}}{\partial x^2}

が得られる

$ c^2=\frac{T}{\rho} とおけば、知られた形式が得られる:

$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}