対角線論法
diagonal method
カントールの対角線論法
2点が定まれば直線が得られる
一部の区間の結果を拡張できる
とりあえず一部の区間で示せばよさそう、という方針あんも.icon
開区間$ (0, 1) に含まれる実数は、自然数の濃度$ \aleph_0 である
つまり、この範囲の実数は、自然数を用いてすべて番号づけられる
と仮定して矛盾を導く
番号づけた実数一つひとつを書き並べる:
開区間$ (0, 1) 内に含まれる実数を$ \alpha とする
添字$ 1, 2, 3, \cdots によって番号を与える
小数はすべて10進数で表示する
各位の数を1桁の数$ a に2つの添え字をつけて表示する
添字は構成する実数$ \alpha_k と位$ k に依存するようにつける
code:tex
\begin{aligned}
\alpha_1 &= 0.\, \underline{a_{11}}\, a_{12}\, a_{13}\, a_{14}\, a_{15}\, \cdots\, a_{1n}\, \cdots ,\\
\alpha_2 &= 0.\, a_{21}\, \underline{a_{22}}\, a_{23}\, a_{24}\, a_{25}\, \cdots\, a_{2n}\, \cdots ,\\
\alpha_3 &= 0.\, a_{31}\, a_{32}\, \underline{a_{33}}\, a_{34}\, a_{35}\, \cdots\, a_{3n}\, \cdots ,\\
\vdots \\
\alpha_k &= 0.\, a_{k1}\, a_{k2}\, a_{k3}\, a_{k4}\, a_{k5}\, \cdots\, \underline{a_{kk}}\, \cdots\, a_{kn}\, \cdots ,\\
\vdots
\end{aligned}
対角線に並ぶ数を利用して、$ a_{kk} に対応する1桁の数$ b_k を定める:
$ a_{kk} \neq b_k であるようにする
複数の取り方ができるあんも.icon
even→1, odd→0
0→1, (1～9)→0
これの知られたいい表現があるはずあんも.icon
0と9にうつすのはまずそう？
0でも1でない数であることを保証したい
code:tex
b_k = \begin{cases}
5 & (0 \le a_{kk} \le 4) \\
1 & (5 \le a_{kk} \le 9)
\end{cases}
得られた$ b で数$ \beta を定める:
$ \beta = 0.\, b_1\, b_2\, b_3\, \cdots\, b_k\, \cdots
この$ \beta は$ \alpha と同様に、開区間$ (0, 1) に存在する
$ \beta は$ \alpha の構成方法の特別な場合になっているからあんも.icon
しかし、$ a_{kk} \neq b_k であるように定めたのでこの$ \beta はどの$ \alpha_k とも異なる数である
実際、k桁目を除く部分で同じ数が出現していたとしても、k桁目で必ず異なる数であることがわかる
すべて番号づけられているべき実数$ \alpha であるが、この$ \alpha を利用して、どの$ \alpha とも異なり、かつ$ \alpha ですでに番号づけられているべき実数$ \beta が得られた
これは仮定した関係:
実数$ \alpha は自然数を用いてすべて番号づけられる
が成り立たないことを示している
ゆえに、開区間$ (0, 1) に含まれる実数は、自然数の濃度$ \aleph_0 ではないことが示された$ \square
さらに、開区間$ (0, 1) に含まれる実数は、実数全体について一対一対応がつけられる
実際、適当な平面座標を用意すれば、例えば開区間$ (0, 2) のそれぞれの要素に対して、直線を引くことができる
したがって、開区間$ (0, 1) に含まれる実数の濃度を$ \aleph とすれば、実数全体の濃度も$ \aleph である