円の正多角形近似によってπの近似値を得る

単位円に内接する正(6×2^n)角形を構成する

弦の長さを$ a_n とする

n=0から始めればよくある正六角形から始められる

弦と半径によって二等辺三角形が得られる

これを二等分すれば正(6×2^{n+1})角形を構成でき、長さ$ a_{n+1} の新たな短い弦を得る

分割数を2倍に更新していく操作

適当なところで打ち切ればπ>3であることの証明ができる

半径は更新前の弦で2つに区切られている

中心から円周の方向に、その長さを$ x, y と割り当てる

更新で生じる2種類の直角三角形について、三平方の定理から関係式を導ける:

code:tex

\begin{cases}

1^2 = \left(\frac{a_n}{2}\right)^2 + x^2\\

a_{n+1} = \left(\frac{a_n}{2}\right)^2 + y^2

\end{cases}

$ x+y=1 に注意して解けば漸化式が得られる:

$ a_{n+1} = \sqrt{2 - \sqrt{4 - a_n^2}}

得られた漸化式は桁落ちが生じる形式なので変形する:

$ \sqrt{2 -(2+\varepsilon)} が大きさの近い二数の引き算になっている

$ a_{n+1} = \frac{a_n}{\sqrt{2 + \sqrt{4 - a_n^2}}}

code:jl

function approx_pi(n)

c = 1

for _ in 1:n

c = c / (sqrt(2 + sqrt(4 - c^2)))

end

return 3 * 2^n * c # (6 * 2^n / 2) * c より少しマシになる

end

approx_pi(61) # 3.141592653589793