全射と単射と全単射
等しい写像
$ A\rarr B の写像を2つ考え、$ f,g とする
任意の$ a\isin A に対して、$ f(a)=g(a) が成り立つとき、$ f は$ g と等しいという
$ f=g
写像$ f:A\rarr B, g: B\rarr C を考える
写像$ g\circ f:A\rarr C を、$ (g\circ f)(a)=g(f(a)),\quad a\isin A により定める
この$ g\circ f を、$ f と$ g の合成写像という
Scrapboxで可換図式がうまく描けないあんも.icon
写像$ f:A\rarr B を考える
上への写像
何が上なんだろう？あんも.icon
任意の$ b\isin B に対して、$ f(a)=b なる$ a\isin A が存在するとき、この写像$ f を全射という
値域全ての値を出力できればよい
異なる引数に対して、同じ出力をすることが許されている
1対1の写像
任意の$ a_1,a_2\isin A に対して、$ f(a_1)=f(a_2)\implies a_1=a_2 となるとき、この写像$ f を単射という
異なる引数に対して、必ず異なる出力をする
同じ値であれば、必ず同じ引数が与えられている
異なる引数に対して、同じ出力をすることは許されていない
写像$ f:A\rarr B が全射かつ単射であるとき、$ f は全単射である
$ f が全単射であるとき、任意の$ a\isin A ,b\isin Bに対して、
$ (f^{-1}\circ f)(a)=a,\quad (f\circ f^{-1})(b)=b となるような写像$ f^{-1}: B\rarr A が存在する
この$ f^{-1} を$ f の逆写像という