ラプラシアン

Laplacian

ラプラス作用素

Laplace operator

$ \Delta u =\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}

$ \nabla^2u\eqqcolon\Delta u

ラプラシアンの直観的な意味

前進差分と後退差分を考えて:

$ \frac{df}{dt} = \frac{f(t + \Delta t)-f(t)}{\Delta t}+O(\Delta t)

$ \frac{df}{dt} = \frac{f(t)-f(t - \Delta t)}{\Delta t}+O(\Delta t)

であるから、ラプラシアンを差分化して:

$ \frac{d^2f}{dt^2} =\frac{f(t + \Delta t)-2f(t)+f(t - \Delta t)}{{\Delta t}^2}+O(\Delta t)

$ \frac{d^2f}{dt^2} =\frac{2}{{\Delta t}^2}\left(\frac{f(t + \Delta t)+f(t - \Delta t)}{2}-f(t)\right)+O(\Delta t)

となり、周囲の平均との差となる