ベクトル空間の定義

$ V を集合とし、$ \bm{x},\bm{y},\bm{z}\in V 、$ c,d\in\Bbb{R} とする

$ V に演算を定義する

和という演算

$ \bm{x}+\bm{y}\in V

スカラー倍という演算

$ c\bm{x}\in V

次の好ましい性質をみたすとき、$ V をベクトル空間という

加法について

零元が存在する

$ \bm{x}+\bm{0}=\bm{x}

$ \bm{x}+\bm{y}=\bm{y}+\bm{x}

$ (\bm{x}+\bm{y})+\bm{z}=\bm{x}+(\bm{y}+\bm{z})

逆ベクトルが存在する

加法の逆元？あんも.icon

$ \bm{x}+\bm{-x}=\bm{0}

スカラー倍について

単位元が存在する

$ 1\bm{x}=\bm{x}

$ c(d\bm{x})=(cd)\bm{x}

加法・スカラー倍について

分配法則が成り立つ

$ (c+d)\bm{x}=c\bm{x}+d\bm{x}

$ c(\bm{x}+\bm{y})=c\bm{x}+c\bm{y}