『現代数理科学事典』

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I 物理の数理

1. 基礎

1.1 力学

1.1.1 ニュートンの力学の形式

1. 運動の法則

2. 保存力

3. 質点系の運動

4. 剛体

1.1.2 ラグランジュの形式

1.1.3 ハミルトンの形式

1.2 電磁気学

1.2.1 静電場

1. 電荷とクーロンの法則

2. 電場とガウスの法則

3. 静電ポテンシャル

4. 導体

5. 境界値問題

1.2.2 電流と磁場

1. 電流

2. 磁束密度

3. ローレンツ力

1.2.3 電磁誘導

1.2.4 電磁場の基本方程式

1. 変位電流

2. マクスウェルの方程式

3. 電磁波

4. ベクトルポテンシャル

1.2.5 物質中の電磁場

1.2.6 特殊相対性理論

1.3 量子力学

1.3.1 本概念

1.3.2 基礎的応用

1.3.3 対称性と保存則

1.3.4 さまざまな近似法

1.3.5 散乱の量子論

1.3.6 多粒子系の量子力学

1.3.7 相対論的量子力学

1.4 連続体力学

1.4.1 はじめに

1. 連続体

1.4.2 オイラー的記述とラグランジュ的記述

1.4.3 流体力学の基礎方程式

1.4.4 圧縮性流体

1.4.5 非圧縮性流体

1.4.6 弾性体力学

1.5 熱・統計力学

1.5.1 ミクロとマクロ

1.5.2 熱力学

1.5.3 統計力学

1.6 相対論

1.7 経路積分

1.8 群論

1.8.1 群の公理

1.8.2 群の表現(抽象世界から具象世界へ)

1.8.3 連続群とその例

1.8.4 点群

1.8.5 結晶構造の理解

1.8.6 空間群

1.9 微分形式

1.9.1 3次元ユークリッド空間の微分形式

1.9.2 積分因子と熱力学

1.9.3 多様体

1.9.4 微分形式

1.9.5 微分形式の積分

1.9.6 マクスウェル方程式

2. 展開1

2.1 カオス

2.2 ソリトン

2.3 可解模型

2.4 共形場理論

2.5 非平衡統計力学

2.6 ランダム行列

2.7 スピングラス

2.8 量子情報

2.9 相転移と臨界現象の数理

2.10 乱流

2.11 連続群

3. 展開2

3.1 場の量子論

3.2 場の理論における非摂動的方法

3.3 ゲージ理論

3.4 超対称性

3.5 超弦理論

3.6 量子重力

3.7 位相的場の理論

3.8 宇宙論

II 生命の数理

1. 数理生態学

1.1 個体群動態

1.1.1 連続時間モデル

1. 1種系モデル

ロジスティック方程式

2. 2種系モデル

競争方程式

捕食者-被食者方程式

1.1.3 個体群動態モデルの挙動の解析

1. 平衡状態と線形近似による局所安定性解析

2. 大域的挙動とカオス

1.1.4 時間遅れのある個体群動態

1.1.5 齢構成モデル

1.2 空間生態学

1.3 多種共存の生態学

1.4 生物の動態と経済学

1.4.1 乱獲と最大持続収穫量

1. 最大持続収穫量

maximum sustainable yield; MSY

または最大持続生産量

漁具効率

2. 乱獲をもたらす2つの理由

乱獲: overexploitation

経済的割引: economic discounting

または将来はもっと獲らないと同じ稼ぎが出ない？

共有地の悲劇

3. 順応的管理

4. 野生動物の保護管理

5. 許容漁獲量制度

1.5 保全生物学と絶滅確率

2. 行動と社会の数理

2.1 行動学と社会生物学

2.1.1 ゲーム：ESS

evolutionaly stable strategy; ESS

進化的に安定な戦略

1. 親による子の世話のゲーム

2. レプリケータ・ダイナミックス

3. 樹木の高さゲーム

4. アダプティブ・ダイナミックス

2.2 人口学

3. 進化生物学

3.1 遺伝子から進化をみる

3.1.1 集団遺伝学/分子進化

ハーディ-ワインベルグの平衡

仮定をいくつかおいた場合の平衡頻度

仮定を外すとどうなるか考える

1. 自然淘汰

2. 突然変異

3. 移住

4. 遺伝的浮動

5. 拡散近似

6. 遺伝的組換え

7. 分子進化の中立説

3.2 連続形質の進化

3.2.1 アダプティブ・ダイナミックス

3.3 共進化

3.3.1 軍拡競走

3.3.2 宿主-寄生者系

3.3.3 捕食者-被食者系

3.3.6 赤の女王仮説

3.4 進化工学と実験進化学

4. 発生と形態形成の数理

発生

1. 分化

2. 位置情報仮説とモルフォゲン

3. 極座標モデル

4. 分化と遺伝子の発現

5. 体節形成

6. 細胞状態の多様性

4.1 セルオートマトン：細胞再配列

1. 細胞接着の細胞再配列

2. 魚類錐体モザイク

3. 細胞の上皮シート

4. 細胞分化の側方抑制

4.2 チューリング：反応拡散方程式

4.2.1 チューリングの拡散不安定性

4.2.2 動物の体表模様

4.2.3 魚類の縞模様

4.2.6 バクテリアコロニーの樹状パターン

4.3 Lシステム

4.4 形態形成のシミュレーター

4.4.1 離散空間モデル

4.4.2 連続体モデル

5. 神経脳科学

5.1 神経科学の数理モデル

5.2 細胞集団の同期

5.3 集団符号化

5.4 脳のモデル

6. 医学の数理

6.1 免疫の数理モデル

6.2 感染症流行の数理

6.2.1 感染症流行の基本モデル

SIRモデル

感受性保持者: susceptible: S

感染者: infected person: I

回復者: recovered: R

6.3 宿主と病原体の共進化

6.4 発がんの数理

7. 生命情報学

7.1 バイオインフォマティックスと数理

7.2 配列情報の解析

7.3 立体構造情報の解析

7.4 大規模実験支援のための数理技術

8. システム生物学

8.1 遺伝子・タンパク質のダイナミックス

1. 細胞内の生化学反応について

2. 遺伝の仕組み

3. 分子の合成反応や酵素反応を微分方程式で書く

4. ヒル式とヒル定数

5. ミカエリス-メンテン式

酵素反応の速度

6. 抑制について

8.2 概日リズム

8.3 ゆらぎ

8.4 ネットワーク

8.5 ブーリアンネットワーク

III 計算機科学

1. 計算と論理

1.1 論理の基本

1.2 計算の基本

1.3 計算の意味

2. 計算と言語

2.1 形式言語

2.2 言語の解析

2.3 データを表現するための言語

3. アルゴリズムと計算の複雑さ

3.1 アルゴリズムの設計と解析

3.1.1 計算量の評価

計算量は入力サイズに依存する

最悪計算量

平均計算量

ビッグO表記

多項式時間アルゴリズム

指数時間アルゴリズム

3.1.2 計算量のクラス

3.2 アルゴリズム設計技法

3.2.1 再帰

3.2.2 分割統治法

3.2.3 逐次構成法

3.2.4 貪欲法

3.2.5 動的計画法

3.2.6 縮小法

3.3 計算の複雑さの解析

3.4 計算モデルとアルゴリズム設計

4. 計算のさまざまな実現法

4.1 並列計算

4.2 分散計算

4.3 量子計算

IV 経済の数理

1. 経済学の数理

1.1 経済主体の最適化行動

1.2 一般均衡理論

1.3 経済均衡の逐次解法

1.4 不確実性下の経済行動

1.5 動学的最適化

1.6 経済動学

1.7 経済政策の基礎

1.8 ゲーム理論と経済学

1.9 数理ファイナンス

2. 計量経済学の数理

2.1 計量経済学と構造方程式モデルの展開

2.2 時系列マクロ計量経済学

2.3 時系列モデルの展開

2.4 離散選択モデルとミクロ計量経済学

2.5 ミクロ計量経済学とパネルデータ分析

2.6 セミパラメトリック計量経済学

V 数理統計学

1. 統計的推測

1.1 推定

1.2 検定

1.3 推測の漸近理論

1.4 ノンパラメトリック法

1.5 統計的決定理論

2. 統計的モデルの特定化と解析

2.1 統計的モデル

2.2 線形モデルの推測

2.3 一般化線形モデル

2.4 ベイズ統計法

2.5 モデル選択

2.6 寿命データの解析

2.7 欠測値の解析

3. 実験計画法と標本調査

3.1 実験計画法

3.2 標本調査法

4. 多変量推測

4.1 多変量データの記述法

4.2 多変量分布論

4.3 多変量モデルの推測

4.4 離散多変量解析

4.5 グラフィカルモデル

5. 時系列と確率過程の解析

5.1 時系列解析

5.2 非線形時系列モデル

5.3 確率過程の解析

6. 統計計算

6.1 確率分布の近似

6.2 モンテカルロ法

6.3 マルコフ連鎖モンテカルロ法

6.4 ブートストラップ法

VI OR

1. 数理計画法

1.1 沿革

1.2 定義

1.3 狭義の数理計画法

1.4 広義の数理計画法

1.5 各種の数理計画問題の間の関係

2. 線形計画

2.1 はじめに

2.2 線形計画問題

2.3 凸2次計画法

2.4 半正定値計画法

2.5 2次錐計画法

2.6 対称錐計画法

3. 非線形計画

3.1 非線形計画の概観

3.2 最適性条件

3.3 双対性理論

3.4 制約なし最適化

3.5 制約つき最適化

3.6 大域的最適化

3.7 相補性問題

4. 組合せ最適化

4.1 組合せ最適化とその解法

4.2 近似解法

4.3 整数計画法

4.4 ネットワーク理論

4.5 PERT・CPM分析

4.6 スケジューリング理論

5. 待ち行列

5.1 待ち行列モデル

5.2 M/M型待ち行列モデル

5.3 その他の待ち行列モデル

5.4 待ち行列ネットワーク

5.5 輻輳(ふくそう)理論

6. 信頼性と保全性

6.1 倍頼性の評価尺度

6.2 保全性の評価尺度

6.3 予防保全モデル

7. シミュレーション

7.1 概観

7.2 離散事象シミュレーション

7.3 シミュレーション結果の解析

7.4 分散減少法

7.5 最適化問題

7.6 準モンテカルロ法

8. 経営・経済性工学

8.1 経済計算

8.2 在庫管理

8.3 DEA(包絡分析法)

8.4 AHP(階層化意思決定法)

9. 都市・公共システム

9.1 地理的最適化問題

9.2 交通量配分問題

9.3 地域間相互作用モデル

9.4 選挙制度

VII 制御理論

1. 動的システムとその制御

1.1 制御理論概説

1.2 動的システムの表現と応答

1.3 線形システムの構造

1.4 線形システムの性質

1.5 フィードバック制御

2. 安定性の解析

2.1 リャプノフ安定性

2.2 入出力安定性

2.3 フィードバック系の安定性

2.4 安定判別条件

3. 最適制御の方法

3.1 最大原理にもとづく最適制御

3.2 動的計画法にもとづく最適制御

3.3 最短時間制御とバン-バン制御

3.4 最適レギュレータ

4. モデリングとシステム同定

4.1はじめに

4.2 信号とシステム

4.3 ノンパラメトリック同定法

4.4 パラメトリック同定法

4.5 部分空間同定法

5. フィルタリングと状態推定

5.1 ウィーナーフィルタとカルマンフィルタ

5.2 非線形フィルタと拡張カルマンフィルタ

5.3 推定と制御の分離

6. ロバスト制御

6.1 ロバスト性とは

6.2 既約分解表現

6.3 内部安定性

6.4 グラフ位相

6.5 内部モデル制御

6.6 安定化補償器のパラメトリゼーション

6.7 トラッキング制御

6.8 不確かさのクラス

6.9 ロバスト制御問題

6.10 H∞制御

6.11 数値最適化による解法

6.12 ロバスト推定

7. 非線形制御

7.1 非線形システムの線形化

7.2 非線形H∞制御

7.3 非ホロノミックシステムの制御

8. 適応制御

8.1 適応制御の基礎

8.2 モデル規範形適応制御

8.3 セルフチューニングコントローラ

8.4 ロボットマニピュレータの適応制御

VIII 情報の理論

1. 情報と符号化の理論

1.1 情報理論の課題・概説

1.2 情報理論的諸概念

1.3 情報源符号化

1.4 通信路符号化

1.5 連続情報源・通信路

1.6 多元情報源

1.7 多元通信路

1.8 情報スペクトル

1.9 量子情報理論

1.10 情報幾何学

2. 誤り訂正符号の数理

2.1 符号理論の基礎概念

2.2 線形符号

2.3 符号の限界式

2.4 巡回符号

2.5 BCH符号 RS符号

2.6 代数幾何符号

2.7 多数決論理復号可能な符号

2.8 たたみ込み符号

2.9 連接符号

2.10 ターボ符号・LDPC符号と反復復号法

2.11 多値変調に対する符号化

3. 暗号理論の数理

3.1 概要

3.2 共通鍵暗号

3.3 公開鍵暗咢

3.4 デジタル署名方式

3.5 ゼロ知識証明

3.6 相手認証

3.7 情報理論にもとづく暗号理論

3.8 ハッシュ関数

3.9 鍵共有方式

3.10 応用暗号プロトコル

3.11 情報ハイディング

3.12 量子鍵配送

3.13 耐タンパー技術

IX 数値計算

1. 行列と線形計算

1.1 特殊な形の行列

対角行列

下三角行列

上三角行列

ヘッセンベルク行列

3重対角行列

上2重対角行列

転置

対称行列

直交行列

共役転置

エルミート行列

ユニタリ行列

1.2 連立1次方程式の解法

1.2.1 概論

クラメルの公式は数値計算には不向き

数値解法3大別

直接法

常反復法

クリロフ部分空間法

1.2.2 特異値と条件数

連立1次方程式の解の存在や一意性は正則性や階数によって決定できる

誤差を伴う数値計算で正則性や階数を定めるのは難しい

特異値分解

条件数

特異行列への近さを測る尺度

大きくなるほど数値解は誤差の影響を受けやすい

悪条件: ill-conditioned

1.2.3 直接法

Ax = b

1. LU分解法

A = LU

枢軸選択: pivoting

LU分解の結果を保持しておけば、同じ行列を用いた計算に再利用できる

ガウスの消去法も同じ原理だが、処理と結果が密結合していて再利用が難しい

2. 特殊な形の行列のLU分解法

コレスキー分解

都合のいい行列ではLU分解の処理を少し簡単にできることがある

3. 疎行列処理技法

1.2.4 定常反復法

漸化式で近似解を得る

行列の性質が知られていて、よい初期値がある場合に便利

ヤコビ法

ガウス-ザイデル法

SOR法

逐次過緩和法

1.2.5 クリロフ部分空間法

リッツ-ガレルキン方式

最小残差方式

1.2.6 マルチグリッド法

1.2.7 線形最小2乗問題

QR分解を経由する方法が一般的

1.3 固有値問題の解法

1.3.1 固有値問題

固有値問題

Az = λz

ゲルシュゴリンの定理

一般化固有値問題

Az = λBz

1.3.2 解法の概観

元の行列から有限回のユニタリ変換によって中間形を得る

中間形を用いて収束まで反復計算して固有値を得る

1.3.3 シューア分解

1.3.4 ベキ乗法

絶対値最大の固有値を得る

1.3.5 QR法

1.3.6 レイリー-リッツの技法

1.3.7 アーノルディ法

1.3.8 ランチョス法

1.3.9 ヤコビ-デーヴィドソン法

1.3.10 2分法

1.3.11 分割統治法

1.3.12 ヤコビ法

実対称行列の固有値を求める古典的な方法

1.3.13 特異値問題

1.4 直交行列による基本変換

1.4.1 基本直交変換

1. ハウスホルダー変換

2. ギブンス変換

1.4.2 三角化(QR分解)

1.4.3 ヘッセンベルク化・3重対角化

1.4.4 2重対角化

2. 非線形方程式の解法

2.1 非線形方程式の反復解法

2.2 縮小写像の原理

2.3 反復公式の導出

ニュートン法

オイラー法

2.4 代数方程式

組立て除法

同時反復法

デュラン-ケルナー法

Durand-Kerner's method

エーリッヒ-アバース法

Ehrlich-Aberthis method

2.5 非線形最小2乗法

3. 関数と積分の近似

3.1 関数の近似

3.1.1 最良近似

3.1.2 補間法

1. 多項式補間(ラグランジュ補間)

補間多項式の表現

ニュートンの補間公式

ネビルの算法

収束性

チェビシェフ補間

2. エルミート補間

3. スプライン補間

3.2 積分の近似

3.2.1 台形則

分割数を増やしても誤差はそれほど改善しない

高精度化の工夫

1. ロンベルグ積分

2. IMT公式

3. 2重指数関数型公式(DE公式)

3.2.2 ニュートン-コーツ公式

補間型数値積分公式

関数を補間して得た関数の積分で、元の関数の積分を近似する

3.2.3 クレンショウ-カーチス公式

3.2.4 ガウス公式

エルミート補間を積分した形

区間に対応する重みづけ

3.2.5 多次元数値積分法概説

4. 常微分方程式の解法

4.1 離散変数法

4.1.1 オイラー法

理論的に重要であるが、計算効率がよくない

4.1.2 ルンゲ-クッタ法

4.1.3 線形多段階法

4.1.4 離散変数法の収束次数

4.2 離散変数法の安定性

4.3 離散変数法の応用

4.3.1 1つの定数遅延を含む方程式の解法

4.3.2 連続ルンゲ-クッタ法

4.3.3 2点境界値問題の解法

5. 偏微分方程式の解法

5.1 偏微分方程式の数値解法の概要

5.1.1 問題

初期値問題

境界条件と初期値を与える

境界値問題

境界条件を与える

定常問題

5.1.2 初期値問題と常微分方程式の数値解法との関連

5.1.3 数値解法の分類・戦略

どのような問題に変形してから離散近似するか

未知関数をどのように離散近似するか

初期値問題の場合、時間発展をどのように離散近似するか

境界値問題の場合、望ましい連立方程式を得る手法の選択？

5.1.4 数値解法の評価

安定性

精度

収束性

計算量

5.1.5 格子生成(時空間の離散化)

5.2 選点法およびガレルキン法

5.3 差分法

5.3.1 差分近似

5.3.2 差分法の例

5.3.3 差分法の安定性

1. フォン・ノイマンの線形安定性解析

2. 行列表現による安定性評価

3. 関数解析的な安定性解析

5.3.4 差分解法の収束性、精度評価

5.4 有限要素法

5.4.1 弱形式

5.4.2 リッツ-ガレルキン法

5.4.6 有限要素の誤差評価

5.5 境界要素法

5.6 構造保存的解法

5.7 その他の解法

5.7.1 スペクトル法

5.7.2 粒子法

5.7.3 確率を用いる方法

6. 精度補保証の手法

6.1 数値計算の品質保証

6.1.2 自動微分

6.2 精度保証つき計算法

7. ウェーブレット解析

7.1 ウェーブレット

7.2 連続ウェーブレット変換

7.3 離散ウェーブレット変換

X 認知と学習

1. 認知過程の数理

1.1 視覚認知過程の数理

1.2 聴覚認知過程の数理

1.3 リカレントニューラルネットによる決定論力学系にもとづく高次認知モデル

2. パターン情報の数理

2.1 視覚情報の数理

2.2 聴覚情報の数理

2.3 パターン情報の展開

2.4 パターン認識の数理

3. 学習過程の数理

3.1 学習過程のモデル

3.2 認知発達のモデル

3.3 統計的学習理論

3.4 情報論的学習理論

3.5 特異モデルの学習理論

3.6 情報統計力学

4. 学習モデル

4.1 ニューラルネットワーク

4.2 サポートベクトルマシン

4.3 ベイジアンネットワーク

XI 数理の基礎

1. 代数的構造

1.1 集合

1.1.1 集合

1.1.2 直積，写像

1.1.3 順序と束

1.2 基本代数系

1.2.1 群

1.2.2 環と体

1.3 線形空間

1.3.1 線形空間

1. 線形空間

2. 基底

3. 線型写像

4. 行列

5. 基底変換

1.3.2 線形方程式、行列式

1. 線形方程式

2. 行列式

3. 行列の階数

1.3.3 固有値

1. 固有値、固有ベクトル

2. 最小多項式、単因子

フロベニウスの定理

ケーリー-ハミルトンの定理

3. 行列の対角化

4. 不変部分空間

5. 重根をもつ特性方程式

6. ジョルダン標準形への準備

7. ジョルダン標準形

1.3.4 計量空間

1. 内積

2. 正規直交系

3. 対称行列と2次形式

1.4 凸集合の性質

1.5 整数の性質

2. 組合せ理論

2.1 場合の数

2.2 母関数

2.2.1 母関数

母関数: generating function

生成関数

0を代入して値を得る

導関数にして次の値を得る

テイラー多項式でやった操作

2.3 組合せ的デザイン

2.3.5 ラテン方陣

2.3.7 アダマール行列

3. グラフ理論

3.1 グラフの定義と基礎概念

3.2 道と閉路，連結性

3.3 木

3.4 連結度

3.5 マッチングと因子

3.6 平面的グラフ

3.7 彩色

3.8 ネットワークフロー

3.9 ランダムグラフ

3.10 グラフマイナー

4. 計算機代数

4.1 概説

計算機数学: computer mathematics

4.2 計算機代数システム

数式処理システム

4.2.2 数値の表現

点対によるリスト構造

値

ポインタ: 他の点対との関係を示すのり代になる

4.2.3 数式の表現

前置表現

正準表現

4.3 多項式の最大公約子

4.4 グレブナー基底とその応用

4.5 多項式の因数分解

4.6 近似代数

4.7 初等関数の不定積分

5. 計算幾何学

5.1 計算幾何学とは

5.2 2次元の代表的手法――平面走査法

5.3 凸包と半平面の共通部分

5.4 美術館ガードと多角形分割

5.5 ヴォロノイ図とドロネー図

5.6 双対変換とアレンジメント

5.7 幾何的探索問題

6. トポロジー

6.1 概説

6.2 ホモロジー論

6.3 ホモトピー

6.4 微分可能多様体

6.5 リー代数とリー群

6.6 ファイバー束

6.7 接続

6.8 リーマン多様体

7. 解析学の基礎

7.1 極限

7.1.1 数列の極限、級数の和

1. 数列

2. 収束の様相

コーシーの収束判定条件

基本列

コーシーの収束判定条件をみたす数列

単調数列

振動しながら収束

3. 級数

部分和

4. 級数の和

コーシーの収束判定条件

正項級数: positive term series

交項級数: alternating series

絶対収束、条件収束

ディリクレ-リーマンの定理

5. 級数の収束判定法

1. 比較判定法

2. ダランベールの判定条件

3. 積分判定法

6. 実数の集合の上限・下限と数列の上極限・下極限

部分列

7. 級数総和法

発散する級数に適当な和を対応させる

アーベルの総和法

チェザロ平均

8. 計算機を利用して収束問題を扱うときの注意

7.12 関数値の極限

7.1.3 位相

1. 距離空間

2. 距離空間における位相

近傍

開集合

閉集合

閉包

集積点

コンパクト性

ハイネ-ボレルの定理

3. 位相空間

4. 連続写像

7.1.4 関数空間

1. 関数列の収束

2. ノルムとバナッハ空間

3. ヒルベルト空間

4. 局所凸空間

5. 線形作用素、線形汎関数

7.2 微分積分法の基礎概念

7.2.1 微分法

1. 連続関数

2. 1変数の微分法

テイラーの定理

3. 多変数の微分法

4. 可微分写像

ヤコビ行列

ヤコビアン

ヤコビ行列の行列式

陰関数定理

写像度

5. フレシェ微分、ガトー微分

7.2.2 積分法

1. 1変数関数のリーマン積分

ダルブウの上積分

ダルブウの下積分

2. スティルチェス積分

3. 変格積分

improper integeal

広義積分 仮性積分 特異積分 異常積分

積分の主値

コーシーの主値

4. 重積分

ジョルダン外測度

5. 線積分、面積分

線積分

グリーンの定理

面積分

ガウスの定理

ストークスの定理

6. 複素変数の関数

7.3 最大最小問題

7.3.1 1変数の関数の最大最小

7.3.2 多変数関数の最大最小

7.3.3 変分法

オイラーの微分方程式

停留関数

7.4 微分方程式

7.4.1 常微分方程式の初期値問題

1. 常微分方程式

正規系

常微分方程式系

正規系の常微分方程式系はベクトル形の正規系1階常微分方程式系として扱うことができる

直接解を得るのは難しい

解の存在を主張してその性質を調べる

微分方程式の解を求める方法

1. 求積法

古典的な微分積分で解を得る方法

解けるのは特別な場合のことが多い

2. 演算子法

3. 級数展開による方法

解が級数の形で得られると仮定して解く

ベッセルの微分方程式

ルジャンドルの微分方程式

4. 積分変換(ラプラス変換, フーリエ変換など)

議論の手段として利用できる

5. 逐次代入の方法

近似解を得られる

議論の手段として利用できる

ピカールの逐次近似法

6. 数値計算によって近似解を求める方法

7. 図によって解の概略の形の知る方法

2. 初期値問題

解の局所的存在定理

ペアノの定理

解の一意性定理

コーシー-リプシッツの定理

リプシッツ条件

1. コーシーの折れ線法

2. ピカールの逐次近似法

3. 線形常微分方程式

ロンスキアン

4. 演算子法

5. 非線形常微分方程式

7.4.2 常微分方程式の境界値問題

1. 正則境界値問題

2. 特異境界値問題

ワイルの定理

7.4.3 常微分方程式の解の安定性

1. 常微分方程式の定性的理論

2. 解の安定性

3. 安定性の判定法

7.4.4 偏微分方程式

1. 双曲型方程式

ダランベールの解

2. 放物型方程式

3. 楕円型方程式

7.5 測度論の基礎

1. 測度空間

2. ルベーグ積分

3. 極限定理

7.6 フーリエ解析

1. フーリエ級数

2. フーリエ変換

3. 多変数のフーリエ変換

8. 確率論

8.1 確率論の基礎

8.2 確率過程

8.3 確率解析

9. 非線形の数理

バナッハ空間

ヤコビ行列

位相同値

9.1 分岐理論

9.1.1 座屈と分岐理論の概観

弾性のある棒を両端から押す

パラメータによってどのように曲がるかが定まる

熊手型分岐

9.1.2 1パラメータの分岐

平衡点から分岐が起きるとしたら双曲性が破れるとき

線形化行列が0を単純固有値にもつ

線形化行列が$\pm iω$を単純固有値にもつ

9.1.3 中心多様体縮約

9.1.4 退化特異点

9.1.5 無限次元力学系への応用

9.2 特異摂動論

9.2.1 特異摂動問題の例

9.2.2 多重スケール法

9.2.3 内部遷移層

9.2.4 平均曲率流

9.2.5 点凝集現象

9.2.6 活性化因子と抑制化因子

1. 点凝集の現れる現象例

ギーラー-マインハルト系

Gierer-Meinhardt

2. 内部遷移層の現れる現象例

フィッツヒュー-南雲方程式

FitzHugh-Nagumo

ベルソフ-ジャボチンスキー反応

Belousov-Zhabotinsky reaction

9.2.7 WKB法

9.2.8 変形座標を用いる方法

9.3 非線形楕円型偏微分方程式

9.3.1 非線形楕円型偏微分方程式の定義

9.3.2 最大値原理とシャウダー評価

アプリオリ評価

一般に解があったとして解がみたすべき不等式がある

9.3.3 非線形解析のいくつかの手法

9.3.4 解の定性的・定量的性質

9.3.5 いくつかの非線形楕円型偏微分方程式系と解の構造

1. 最小曲面におけるプラトー問題

2. 超伝導現象におけるギンツブルグ-ランダウモデル

3. パターン形成の数理モデル

コラム

物理の数理

共形場理論とトポロジー

作用環境の理論と場の理論

生命の数理

カオスと脳

大脳のモデルと学習

E-CELL Project：細胞のコンピュータシミュレーション

情報の理論

神様に払う謝礼――エントロピー閑話１

赤と黒――エントロピー閑話２

マクロとミクロ――エントロピー閑話３

天国と地獄――エントロピー閑話４

天邪鬼への質問

容量・コスト関数とレート・歪み関数の計算法

n次元薄皮まんじゅうの話

ＷＯＭ――省資源へ向けての戦略

ネットワーク符号化

量子誤り訂正符号

時空間符号

ビットコミットメントとオブリビアストランスファ

量子ビットコミットメント

バイオメトリクス

数値計算

高速フーリエ変換(FFT)

直交多項式

認知と学習

データマイニング

変分ベイズ法

ブースティング

数理の基礎

トポロジーという語

幾何学的世界像

付録

1. SI基本単位

2. 固有の名称をもつSI組立単位

3. 電磁気諸量と単位系の換算

4. SI単位以外の単位

5. SI接頭語

6. 基礎定数表