『いかにして問題をとくか』
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1．問題を理解すること
前提は何か
未知のものは何か
与えられているもの(データ)は何か
条件は何か
条件は適切に与えられているか
条件を満足させうるか
条件は未知のものを定めるのに十分であるか
または不十分であるか
または余剰であるか
または矛盾しているか
図を描け
適当な記号を導入せよ
条件の各部を分離せよ
それを書き表すことができるか
2. 計画を立てること
前にそれを見たことがないか
または同じ問題を少し違った形で見たことがあるか
似た問題を知っているか。役に立つ定理を知っているか
未知のものをよく見よ！
そうして未知のものが同じか、またはよく似ている、見慣れた問題を思い起せ
似た問題ですでに解いたことのある問題がここにある
それを使うことができないか
その結果を使うことができないか
その方法を使うことができないか
それを利用するためには、何か補助要素を導入すべきではないか
問題の同値変形はできるか
問題を言い換えることができるか
それを違ったいい方をすることができないか
もしも与えられた問題が解けなかったならば、何かこれと関連した問題を解こうとせよ
もっと易しくてこれと似た問題は考えられないか
もっと一般的な問題は？
もっと特殊な問題は？
条件をさらにつけて簡単にする
類推的な問題は？
問題の一部分を解くことができるか
条件の一部を残し、他を捨てよ
そうすればどの程度まで未知のものが定まり、どの範囲で変わりうるか
データを役立たせうるか
未知のものを定めるのに適当な他のデータを考えることができるか
未知のものもしくはデータ、あるいは必要ならば、その両方を変えることができるか
そうして新しい未知のものと、新しいデータとが、もっと互いに近くなるようにできないか
前提を適切に利用したか
データをすべて使ったか
条件のすべてを使ったか
問題に含まれる本質的な概念はすべて考慮したか
3．計画を実行すること
解答の計画を実行するときに、各段階を検討せよ
その段階が正しいことをはっきりと認められるか
4．ふりかえってみること
結果を試すことができるか
議論を試すことができるか
結果を違った方法で導くことができるか。それを一目のうちに捉えることができるか
他の問題にその結果や方法を応用することができるか
第I部 教室にて
目標
1. 学生を助けること
2. 質問，注意，思考作用
3. 一般性
4. 常識
5. 教師と学生，真似と練習
問題の区分と主な問い
6. 4つの区分
7. 問題を理解すること
8. 実例
9. 計画を立てること
10. 実例
11. 計画を実行すること
12. 実例
13. 振り返ってみること
14. 実例
15. いろいろなやり方
16. 教師の質問の仕方
これらの質問は少しずつ学生に消化され精神的な習慣を養うのに役立つであろう
17. よい質問とわるい質問
更に多くの実例
18. 作図の問題
19. 証明問題
20. 速度の問題
第II部 いかにして問題をとくか
対話
慣れること
もっとよく理解するように努めること
良い考えを探すこと
計画を実行すること
後ろを振り返ること
第III部 発見学の小事典
新しい言葉と古い言葉
1. 解析
2. 条件
3. 仮説
4. 問題の主要部分の定義
5. 決定問題と証明問題
6. 前進的推理
7. 逆行的推理
8. 解答
ボルツァノ
分解と結合
ちがった仕方で同じ結果がえられるか
デカルト
伝統的な数学教授
データをすべてつかったか
データを役立たせうるか
逆むきにとくこと
発見学
発見的推理
発見の法則
発明家のパラドクス
補助問題
補助定理
補助要素
方程式をたてること
一般化
次元によるテスト
実行すること
証明を構成する
発見的
証明を実行する
最初主な考え方を直感的にスケッチしておいて、後からユークリッド的順序で証明をやるという方法はよい方法である
実際的な問題
条件
矛盾
余剰
条件を満足させうるか
条件の各部を分離せよ
格言の知恵
系
結果を利用できないか
結果を確かめることができるか
決意，希望，成功
決定問題と証明問題
帰謬法と間接証明
記号
図をかけ
近代発見学
帰納と数学的帰納
きまりきった問題
教育の規則
ライプニッツ
前にそれをみたことがないか
未来の数学者
未知のものをよくみよ
未知のものは何か
問題がとけなかったら
問題を変形させること
無意識の仕事
生兵法と大家
なぜ証明が必要か
完全な証明
証明の効用
理論的体系
定義から導かれて正しさが保証されている
記憶術的体系
一方を覚えていればもう一方を導ける
料理本的体系
他の問題を解くために認める
不完全な証明
証明を組み上げるときは不完全な証明から始まる
細部は後から補強できる
危うい場合があることを断っておく
教える場合は完全な証明を知っているべき
似た問題で，すでにといたことのある問題がここにある
似た問題を知っているか
パプス
パズル
類推
診断
進歩の兆候
進歩と成果
すぐれた読者
すぐれた解答者
対称
定義
問題をいいかえることができるか
特殊化
よい思いつき
様式の法則
予想を検討せよ
図
系統立てて整理されるとわかりにくそう？あんも.icon
独立しているので個別に読める
第IV部 問題・ヒント・解答
問題
ヒント
解答
索引
帰納的な発想を用いる
3桁の筆算も指導するべき