ε論法を不等式の推移律から導く

不等式の推移律を定数$ b, x, aで表す:

$ b\leq x, x\leq a \Rarr b\leq a

$ x を変数であるとすると、全称記号をつけることで命題を構成できる:

$ \forall x(b\leq x, x\leq a \Rarr b\leq a)

この命題は成り立たないので、否定を考える:

$ \neg \forall x(b\leq x, x\leq a \Rarr b\leq a)

$ \iff\exists x \neg (b\leq x, x\leq a \Rarr b\leq a)

$ \iff\exists x (b\leq x, x\leq a \land \neg (b\leq a))

$ \iff\exists x(b\leq x, x\leq a) \Rarr b\leq a

を得る

この命題は成り立つことがわかる

この命題の逆も成り立つ

したがって:

$ \exists x(b\leq x, x\leq a) \Harr b\leq aを得る

不等号に含まれる等号の有無により、さらに3つの成り立つ命題を作ることができる

1. $ \exists x(b< x, x\leq a) \Harr b< a

真ん中くらいあんも.icon

2. $ \exists x(b\leq x, x< a) \Harr b< a

3. $ \exists x(b< x, x< a) \Harr b< a

一番きついあんも.icon

4. $ \exists x(b\leq x, x\leq a) \Harr b\leq a

一番ゆるいあんも.icon

全称記号を用いて、ε論法の命題を構成することが目的あんも.icon

いい感じに変形できるものを選んで使いたい

ここで、1に注目して両辺の否定命題を作る

2つの命題が同値であれば、それらの否定命題どうしも同値であるので:

$ \overline{\exists x(b< x, x\leq a)} \Harr \overline{b< a}を得る

両辺を書き換えて:

$ \forall x(\overline{b< x} \land \overline{x\leq a}) \Harr b\geq a

$ \iff \forall x(\overline{b< x} \land x> a) \Harr a\leq b

$ \iff \forall x(b< x \Rarr a< x) \Harr a\leq b

を得る

任意の$ xの代わりに正の数$ \varepsilonについての式に書き換えることを試みる

$ x は$ b に依存して定められているので、$ x=b+\varepsilonとおいても一般性を失わない

左辺のカッコの中に注目すると:

$ b< b+\varepsilon \Rarr a< b+\varepsilon

$ \iff \varepsilon >0 \Rarr a< b+\varepsilon

となり、全体では:

$ \forall\varepsilon (\varepsilon >0 \Rarr a< b+\varepsilon) \Harr a\leq bを得る

これは

すべての正の数$ \varepsilonに対し、$ a<b+\varepsilonが成り立つならば$ a\leq bである

という命題にほかならない

これが目標のものである