Dⁿ/n!の数列の収束を示す
直観的な証明？あんも.icon
どこかで分母の方が大きくなるはず
数列$ a_n = \frac{D^n}{n!} \quad(D=\mathrm{const}) の数列の極限値？
$ 0<D<1 の場合、明らかに $ \lim_{n\to\infty}a_n = 0
$ D>1 の場合
$ a_{n+1}, a_n の比を考えて:
$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{D^{n+1}n!}{(n+1)!D^n} = \frac{D}{n+1}
その極限は:
$ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{D}{n+1}\right| = 0
$ \lim_{n\to\infty}\frac{D^n}{n!} = 0 \quad(D=\mathrm{const}) を得る
はさみうちの原理でも証明できるあんも.icon
$ \frac{D}{m+1} < 1 なる$ m を定めて上から押さえる
$ \frac{D^n}{n!} < \frac{D^m}{m!}\left(\frac{D}{m+1}\right)^{n-m}
単調数列であるのは自明？
前後で差をとって$ 1-\frac{D}{n+1} の正負で決まる
0にはさみうちするから単調性の議論はいらなそう？
非零は自明？
0!とDの値でわかる
@hollieslab: @Ryoto_TI_ 個人的には差分方程式f(x+1)=xf(x), f(x+1)=Af(x)(Aは定数)(ともに初期値f(0)=1としておく)の違いにあるのかなぁと思います(まあ微積でやってる説明と本質的に変わらん気もするけれど)。一方はxに従ってデカくなる加減もデカくなるのに、他方は一定の増加しかしていかないので