長谷川 『線型代数』

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序章:ことはじめ

1. 連立1次方程式

2. 多変数の微積分

3. 1次変換と身近な非可換

4. 次元

5. 常徽分方程式

6. シュレディンガー方程式

7. 考える道具として

8. まずは2行2列から

道案内

第1部入門編：2次行列と平面の一次変換

0章行列入門

0.1 行列とは

0.2 行列の加法とスカラー倍

0.3 行列の積

単位行列の一意性

任意に選べる行列Aを都合よく選んでBの成分を確定していく

0.4 行列の積の性質

ケイリー-ハミルトンの定理

0.5 可換と非可換

0.6 逆行列

0.7 連立1次方程式と逆行列

0.8 まとめ

道案内

ページランク

練習問題

逆行列は存在すればただ1つであることを示せ

1章 平面ベクトルと2次正方行列

1.1 平面ペクトル

ベクトルを太字で表記する

手で書くときは、文字のタテの部分を二重にしてそれらしくする。

1.2 行列とベクトルの演算

行列とベクトルの積: 30

列ベクトルに注目した表記がある

1.3 平面の回転

回転行列

1.4 行列と1次変換

線形性の条件: 35

回転は線形変換

合同な図形にうつることは要請されていない

回転行列ではたまたまそうなっただけ

拡大縮小

線対称変換

1.5 まとめ

基本ベクトルに変換を適用して連結すれば目的の行列が得られる

線形変換

回転

拡大縮小

線対称変換

回転と同様に合同な図形にうつされる

1.6 ことばの準備

linear map: 線形写像

identity map: 恒等写像

道案内

この書における行列の扱いは、歴史を知るきっかけともなるだろう。多項式の扱いや3次方程式、4次方程式の解法についても参考とされたい

練習問題

2章 平面の1次変換の合成、行列式

2.1 写像の合成と行列の積

2.2 回転の合成

2.3 複素数の行列表示

2.4 逆行列と逆写像:§0.6の復習

2.5 行列式と1次変換の面積比

行列式の幾何的な意味づけ

2.6 行列式が0のとき

道案内・練習問題

3章 2次正方行列の対角化

3.1 座標系のとりかえ

3.2 直線に関する折り返し

3.3 2次曲線の概形をしらべる問題

対角化

3.4 固有ベクトルと対角化

3.5 固有方程式と固有ベクトル

3.6 対角化の例

道案内・練習問題

4章 2次正方行列の対角化（2）

4.1 行列のn乗と線型漸化式

4.2 ジョルダン標準形

4.3 ケーリー-ハミルトンの定理とその応用

4.4 徴分方程式とジョルダン標準形

道案内・練習問題

5章 解析との関連から

5.1 2次曲面の概形

5.2 2変数の極値問題との関係

5.3 ペクトル値関数の徴分方程式

5.4 行列の指数関数

5.5 回転行列とオイラーの式

道案内・練習問題

第2部基本編：線型写像・次元・行列式

6章 多成分ベクトルと線型写像

6.1 数ペクトル空間

6.2 行列とその演算

6.3 線型写像とその行列表示

6.4 いろいろな行列

6.5 スカラーの範囲が実数でない場合

6.6 ユークリッド空間,長さと内積

6.7 空間の回転を表す行列

道案内・練習問題

7章 空間の幾何

7.1 直線

7.2 平面

7.3 平行6面体の体積

7.4 向きと行列式

7.5 ペクトル積

道案内・練習問題

8章 はき出し法、逆行列、階数

8.1 行の基本変形,列の基本変形

8.2 行変形で逆行列を求める

8.3 列変形の意味

8.4 長方行列のとき、行列の階数

8.5 一般の連立1次方程式の解のパターン

道案内・練習問題

9章 像と核、次元定理

9.1 像と核,部分ベクトル空間

9.2 次元の定義

9.3 次元の定義がうまくいっていること

9.4 次元定理

9.5 列変形の応用*

9.6 はき出し法のバージョンアップ*

道案内・練習問題

10章 正規直交基底など

10.1 1次独立性と基底再論

10.2 部分空間の和と共通部分

10.3 正規直交基底

10.4 シュミットの直交化

10.5 交補空間

道案内・練習問題

11章 n次の行列式

11.1 3元連立1次方程式を強引に解くと

11.2 3次行列式の性質

11.3 n次行列式の定義

11.4 余因子展開と逆行列の公式

道案内・練習問題

12章 行列式の応用

12.1 乗法性とその帰結

12.2 体積と行列式

12.3 向きと行列式*

12.4 外積代数と小行列式*

12.5 特殊な行列式*

道案内・練習問題

13章 行列の対角化

13.1 固有ペクトルと対角化

13.2 三角化とケーリー-ハミルトンの定理

13.3 固有空間への射影*

13.4 ジョルダン標準形*

道案内・練習問題

第3部展開編：一般のベクトル空間ーーさまざまな数学への扉

14章 一般のベクトル空間

14.1 ベクトル空間の定義

14.2 基底と次元,ベクトル空間の同型

14.3 線型写像の行列表示,基底変換の公式

14.4 線型常徴分方程式の解空間*

道案内・練習問題

15章 内積および正規行列

15.1 内積のある空間

15.2 正規行列とテープリッツの定理

15.3 定理34の証明:同時三角化*

15.4 実正規行列の標準形

15.5 実2次形式と2次曲面の概形

道案内・練習問題

16章 行列のなす群

16.1 斉次でない2次式とアフィン変換

16.2 射影変換

16.3 行列のなす群と幾何学

16.4 行列値の関数,とくに指数関数

16.5 リー代数入門

道案内・練習問題

17章 ベクトル空間の間の演算*

17.1 空間の「和」と「差」:直和と補空間

17.2 もうひとつの差:商空間とその応用

17.3 双対空間

17.4 テンソル積

道案内・練習問題

18章 ジョルダン標準形*

18.1 目標の定理

18.2 定数係数線型常徵分方程式再論

18.3 単因子と標準形:例

18.4 単因子と標準形:一般のとき

道案内・練習問題

19章 展望・量子力学入門*

19.1 量子力学の枠組

19.2 調和振動子

19.3 コヒーレント状態

19.4 固有関数展開とデルタ関数

19.5 一般展開定理

道案内

付録

1. 複素数および体の公理

2. 置換の符号

3. 同値関係と商集合