等比数列の和の公式

有限級数である等比数列の第n項までの和を$ S, 公比を$ r, 初項を$ aとして

$ S - Sr = (a + ar + ar^2 + ar^3 ... + ar^{n-1}) - (ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 ... + ar^{n})

$ S(1 - r) = a - ar^{n}

$ S = \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}

というように$ Sについて解くことでその数列の第n項までの総和を求めることができる。

差を求めることで初項$ aと$ ar^{n}以外の項を打ち消すことができ、式から複雑性が削がれる。

そこから$ Sについて解くことで和の公式が得られる。