調和級数
等差数列の各項の逆数により構成される調和数列の級数。
$ \sum_{n=0}^\infin 1/n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 ... + 1/n
収束性の判定。
$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}
$ 1 + \frac{1}{2}kよりも$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} ... + \frac{1}{2k}までの部分和の方が大きくなることがわかる。 これを以下に表すと。
$ \sum_{n=1}^{2k} \frac{1}{n} ≥ 1+\frac{1}{2}k
となり$ 1 + \frac{k}{2}は$ kが無限大に拡大すると、その値も無限大となるので、それ以上の調和級数も発散するとわかる。