逆関数法 - 0b5vr

逆関数法

逆関数法 (逆CDF法) とは、累積分布関数の逆関数を用いて、一様分布から好きな確率分布に従う確率変数を作る方法

$ Uを$ [0, 1)上の一様分布に従う確率変数とするとき、

$ X = F^{-1} (U)は累積分布関数が$ F(x)の確率変数になる

例

確率密度関数が一様

例えば、確率密度関数が一様の場合

$ f(x) = 1 \ (0 \leq x \leq 1)

累積分布関数は

$ F(x) = \int_0^x f(t) \ dt = x

$ uについて逆に解くと、

$ u = x \Longrightarrow x = u

解くまでもない

確率密度関数が線形関数

例えば、確率密度関数がふつうの線形関数の場合

$ f(x) = 2x \ (0 \leq x \leq 1)

累積分布関数は

$ F(x) = \int_0^x f(t) \ dt = x^2

$ uについて逆に解くと、

$ u = x^2 \Longrightarrow x = \sqrt{u}