多項式でいい感じのeasingを作ろう

これらを満たすいい感じのカーブを作りたい　ベジエ実装めんどいので

$ f(x) = a x^5 + b x^4 + c x^3

$ f'(x) = 5a x^4 + 4b x^3 + 3c x^2

$ f''(x) = 20a x^3 + 12b x^2 + 6c x

これより、以下の3式

$ f(1) = a + b + c = 1

$ f'(1) = 5a + 4b + 3c = 0

$ f''(1) = 20a + 12b + 6c = 0

が導き出される　これどうすんの

$ {\rm smootherstep}(x) = 6 x^5 - 15 x^4 + 10 x^3

WolframAlpha先生に聞いてみたら、答えは一つしかなく、このSmootherstepだけらしい

じゃあ6次だ！

$ f(x) = a x^6 + b x^5 + c x^4 + d x^3

$ f'(x) = 6a x^5 + 5b x^4 + 4c x^3 + 3d x^2

$ f''(x) = 30a x^4 + 20b x^3 + 12c x^2 + 6d x

これより、以下の3式

$ f(1) = a + b + c + d = 1

$ f'(1) = 6a + 5b + 4c + 3d = 0

$ f''(1) = 30a + 20b + 12c + 6d = 0

が導き出される

WolframAlpha先生によると、

$ b = 6 - 3a

$ c = 3a - 15

$ d = 10 - a

とのこと　よさそう

https://gyazo.com/d8cca9571beb9fab3c68fef241d59100

あれーーー　値域が下に行っちゃった

7次に増やして

$ f'''(0) \geq 0

$ f'''(1) \geq 0

も制約に加えたほうが良さそう

$ f(x) = a_7 x^7 + a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3

$ f'(x) = 7a_7 x^6 + 6a_6 x^5 + 5a_5 x^4 + 4a_4 x^3 + 3a_3 x^2

$ f''(x) = 42a_7 x^5 + 30a_6 x^4 + 20a_5 x^3 + 12a_4 x^2 + 6a_3 x

$ f'''(x) = 210a_7 x^4 + 120a_6 x^3 + 60a_5 x^2 + 24a_4 x + 6a_3

制約は以下の5つ:

$ f(1) = a_7 + a_6 + a_5 + a_4 + a_3 = 1

$ f'(1) = 7a_7 + 6a_6 + 5a_5 + 4a_4 + 3a_3 = 0

$ f''(1) = 42a_7 + 30a_6 + 20a_5 + 12a_4 + 6a_3 = 0

$ f'''(0) = 6a_3 > 0

$ f'''(1) = 210a_7 + 120a_6 + 60a_5 + 24a_4 + 6a_3 > 0

とはいえ3つの制約でとりあえずやればよさそうか

WolframAlphaによると

$ a_5 = -6a_7 - 3a_6 + 6

$ a_4 = 8a_7 + 3a_6 - 15

$ a_3 = -3a_7 - a_6 + 10

2変数になっていい感じ

https://gyazo.com/74b35554fddf39a9edcaf407c670afed

いい感じだけど調整むっず

残り2つの制約を吟味してみる

$ 6a_3 > 0

$ \longrightarrow a_3 = -3a_7 - a_6 + 10 > 0

$ \longrightarrow -3a_7 > a_6 - 10

あーね

$ 210a_7 + 120a_6 + 60a_5 + 24a_4 + 6a_3 > 0

$ \longrightarrow 210a_7 + 120a_6 + 60( -6a_7 - 3a_6 + 6 ) + 24( 8a_7 + 3a_6 - 15 ) + 6( -3a_7 - a_6 + 10 ) > 0

$ \longrightarrow 24a_7 + 6a_6 + 60 > 0

$ \longrightarrow 4a_7 > -a_6 - 10

おー

https://gyazo.com/8de9c0ccdf4139bc5a866d02b8d896be

こんなかんじ

了解！

$ a_6 = {\rm lerp}(-4a_7 - 10, -3a_7 + 10, k)

https://gyazo.com/b2522a2ec98fbe44bddc6912eb6c4f9c

ウェ～イ

おまけ

でこれライブコーディングで使えんの？

5つも符号付きで数字覚えたいですか

続行: 加速度ゼロ制約なしだとどうなんの

以下の6つの制約で出してみる

2次項を加えて様子拝見

$ f(x) = a_7 x^7 + a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2

$ f'(x) = 7a_7 x^6 + 6a_6 x^5 + 5a_5 x^4 + 4a_4 x^3 + 3a_3 x^2 + 2a_2 x

$ f''(x) = 42a_7 x^5 + 30a_6 x^4 + 20a_5 x^3 + 12a_4 x^2 + 6a_3 x + 2a_2

0と1を代入するとこんな感じ

$ f''(0) = 2a_2 \geq 0

$ f(1) = a_7 + a_6 + a_5 + a_4 + a_3 + a_2 = 1

$ f'(1) = 7a_7 + 6a_6 + 5a_5 + 4a_4 + 3a_3 + 2a_2 = 0

$ f''(1) = 42a_7 + 30a_6 + 20a_5 + 12a_4 + 6a_3 + 2a_2 \leq 0

$ a_3 = -5a_7 - 4a_6 - 3a_5 - 2a_4 - 2

$ a_2 = 4a_7 + 3a_6 + 2a_5 + a_4 + 3

4変数はさすがにヤバいんよ

$ a_4 = -4a_7 - 3a_6 - 2a_5 - 3

$ a_3 = 3a_7 + 2a_6 + a_5 + 4

$ a_2 = 0

$ a_5 = -3a_7 - 2a_6 - 4

$ a_4 = 2a_7 + a_6 + 5

あ　パターン見えたよ

$ a_n = 1-n

$ a_{n-1} = n

あれ

（議論の飛躍）

$ f(x) = (1 + k)x^{k} - k x^{k + 1}

https://gyazo.com/72ae7a9ccab592b5e0a3fd0315d03b6f

これ答えでは？？？

こっちは多項式の形にするのは面倒なので諦めたほうが良い

code:glsl

float easein( float x ) {

float x6 = x * x * x * x * x * x;

return -6.0 * x6 * x + 7.0 * x6;

}

float easeout( float x ) {

return 1.0 - easein( 1.0 - x );

}

同じセオリーで加速度ゼロも

$ m = n - 1

$ a_n = \frac{m^2 - m}{2}

$ a_{n-1} = m^2

$ a_{n-2} = a + m

https://gyazo.com/e1f5712be2a37a0a880d2f80a690717f

いいじゃん