tanh

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定義

$ {\rm sinh} \ x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}

$ {\rm cosh} \ x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}

のとき、

$ {\rm tanh} \ x = \frac{{\rm sinh} \ x}{{\rm cosh} \ x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

性質

奇関数

$ - \tanh x = \tanh(-x)

加法定理

$ \tanh(a \pm b) = \frac{\tanh a \pm \tanh b}{1 \pm \tanh a \tanh b}

微分

$ \frac{d}{dx} \tanh x = 1 - \tanh^2 x = {\rm sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}

$ \frac{d}{dx} \tanh 0 = 1

歪み系としての利用